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प्रश्न
AB और AC त्रिज्या r वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। यदि p और q क्रमश : केंद्र से AB और AC की दूरियाँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 4q2 = p2 + 3r2 है।
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उत्तर
दिया गया है - r त्रिज्या के एक वृत्त में दो जीवाएँ AB और AC इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। साथ ही, केंद्र से AB और AC की दूरियाँ क्रमश : p और q हैं।
सिद्ध करना है - 4q2 = p2 + 3r2
उपपत्ति - माना AC = a, तब AB = 2a
केंद्र O से जीवा AC और AB पर क्रमश : M और N पर लंब खींचा जाता है।
∴ `AM = MC = a/2`
AN = NB = a
ΔOAM में, AO2 = AM2 + MO2 ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
⇒ `AO^2 = (a/2)^2 + q^2` ...(i)
ΔOAN में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें,
AO2 = (AN)2 + (NO)2
⇒ AO2 = (a)2 + p2 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
`(a/2)^2 + q^2 = a^2 + p^2`
⇒ `a^2/4 + q^2 = a^2 + p^2`
⇒ a2 + 4q2 = 4a2 + 4p2 ...[दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर]
⇒ 4q2 = 3a2 + 4p2
⇒ 4q2 = p2 + 3(a2 + p2)
⇒ 4q2 = p2 + 3r2 ...[समकोण ΔOAN में, r2 = a2 + p2]
अतः सिद्ध हुआ।
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