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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक और उसकी सम्मुख भुजा का लंब समद्विभाजक, यदि प्रतिच्छेद करते हैं तो, उस त्रिभुज के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
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उत्तर
दिया गया है - ΔABC एक वृत्त के अंतर्गत है। ∠A का समद्विभाजक और BC का लंब समद्विभाजक बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है - A, B, Q और C संचक्रीय हैं।
रचना - BQ और QC को मिलाइए।
उपपत्ति - हमने माना है कि, Q वृत्त के बाहर स्थित है।
∆BMQ और ∆CMQ में,
BM = CM ...[QM BC का लंबवत द्विभाजक है।]
∠BMQ = ∠CMQ ...[प्रत्येक 90°]
MQ = MQ ...[सामान्य पक्ष]
∴ ΔBMQ ≅ ΔCMQ ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
∴ BQ = CQ [CPCT द्वारा] ...(i)
साथ ही, ∠BAQ = ∠CAQ [दिया गया है।] ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
हम कह सकते हैं कि Q वृत्त पर स्थित है। ...[वृत्त की समान जीवाएँ परिधि पर समान कोण बनाती हैं।]
अतः, A, B, Q और C अचक्रीय हैं।
अतः सिद्ध हुआ।
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