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प्रश्न
यदि वृत्त की दो जीवाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त के केंद्र से होकर जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जीवाएँ समांतर है।
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उत्तर
दिया गया है - AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जिनका केंद्र O है और PQ एक व्यास है जो जीवा AB और CD को क्रमश : L और M पर समद्विभाजित करता है और व्यास PQ वृत्त के केंद्र O से गुजरता है।
सिद्ध करना है - AB || CD
उपपत्ति - चूँकि L, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ OL ⊥ AB ...[चूँकि वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।]
⇒ ∠ALO = 90° ...(i)
इसी प्रकार, OM ⊥ CD
∴ ∠OMD = 90° ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
∠ALO = ∠OMD = 90°
लेकिन, ये वैकल्पिक कोण हैं।
इसलिए, AB || CD
अतः सिद्ध हुआ।
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