Question

(0, –1), (8, 3), (6, 7) व (–2, 3) हे बिंदू आयताचे शिरोबिंदू आहेत हे दाखवा.

Answer 1

समजा, P(0, –1), Q(8, 3), R(6, 7), S(–2, 3) हे दिलेले बिंदू आहेत.

दोन बिंदूंमधील अंतर = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

∴ अंतराच्या सूत्रानुसार,

d(P, Q) = `sqrt((8 - 0)^2 + [3 - (-1)]^2)`

= `sqrt((8 - 0)^2 + (3 + 1)^2)`

= `sqrt(8^2 + 4^2)`

= `sqrt(64 + 16)`

= `sqrt80` ...........(i)

d(Q, R) = `sqrt((6 - 8)^2 + (7 - 3)^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (4)^2)`

= `sqrt(4 + 16)`

= `sqrt20` ...........(ii)

d(R, S) = `sqrt([(-2) - 6]^2 + (3 - 7)^2)`

= `sqrt((-8)^2 + (-4)^2)`

= `sqrt(64 + 16)`

= `sqrt80` ..........(iii)

d(P, S) = `sqrt([(-2) - 0]^2 + [3 - (-1)]^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (3 + 1)^2)`

= `sqrt((-2)^2 + 4^2)`

= `sqrt(4 + 16)`

= `sqrt20` ..........(iv)

`square`PQRS मध्ये,

∴ बाजू PQ = बाजू RS …...................[(i) आणि (iii) वरून]

बाजू QR = बाजू PS …...........[(ii) आणि (iv) वरून]

∴ `square`PQRS हा समांतरभुज चौकोन आहे. .............[ज्या चौकोनाच्या संमुख बाजूंच्या जोड्या एकरूप असतील त्या चौकोनास समांतरभुज चौकोन असे म्हणतात.]

d(P, R) = `sqrt((6 - 0)^2 + [7 - (-1)]^2)`

= `sqrt((6 - 0)^2 + (7 + 1)^2)`

= `sqrt(6^2 + 8^2)`

= `sqrt(36 + 64)`

= `sqrt100`

= 10    .....................(v)

d(Q, S) = `sqrt([(-2) - 8]^2 + [3 - 3]^2)`

= `sqrt((-10)^2 + (0)^2)`

= `sqrt(100 + 0)`

= `sqrt100`

= 10 ..................(vi)

समांतरभुज चौकोन PQRS मध्ये,

PR = QS …[(v) आणि (vi) वरून]

∴ `square`PQRS हा आयत आहे. ......................[समांतरभुज चौकोनामध्ये, जर दोन्ही कर्ण सामान असतील, तर तो चाकोन आयात असतो.]