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प्रश्न
यदि a + b + c = 5 और ab + bc + ca = 10 है, तो सिद्ध कीजिए कि a3 + b3 + c3 – 3abc = – 25 है।
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उत्तर
दिया गया है - a + b + c = 5 और ab + bc + ca = 10
हम जानते हैं कि - a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
= (a + b + c)[a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca)]
= 5{a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca)}
= 5(a2 + b2 + c2 – 10)
दिया गया है - a + b + c = 5
अब, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम पाते हैं - (a + b + c)2 = 52
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 25
a2 + b2 + c2 + 2 × 10 = 25
a2 + b2 + c2 = 25 – 20
= 5
अब, a3 + b3 + c3 – 3abc = 5(a2 + b2 + c2 – 10)
= 5 × (5 – 10)
= 5 × (–5)
= –25
अतः, सिद्ध हुआ।
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