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प्रश्न
मान लीजिए कि f : R → R है तब निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित चिन्ह फलन (Signum Function) है |
f(x) = `{(1"," x > 0), (0"," x = 0),(-1"," x < 0):}`
तथा g : R → R, g(x) = [x], द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x], x से कम या x के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof, अंतराल [0, 1] में संपाती (coincide) हैं?
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उत्तर
f : R → R
f(x) = `{(1"," x > 0), (0"," x = 0),(-1"," x < 0):}`
g : R → R, g(x) = [x] द्वारा परिभाषित है |
अब, मान लीजिए x ∈ {0, 1} तो,
[x] = 1 यदि x = 1 और [x] = 0 यदि 0 < x < 1.
∴ fog(x) = f(g(x)) = f([x]) = `{(f(1)"," "यदि" x = 1), (f(0)"," "यदि" x ∈ (0, 1)):}`
= `{(1"," "यदि" x = 1), (0"," "यदि" x ∈ (0, 1)):}`
gof(x) = g(f(x))
= g(1) [x > 0]
= [1] = 1
इस प्रकार, जब x ∈ (0, 1), हमारे पास है fog(x) = 0 और gof(x) = 1.
अतः gof तथा fog[0,1]में संपाती नहीं हैं।
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मान लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलन एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:
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