Advertisements
Advertisements
प्रश्न
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
वर्ग ABCD में दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) एवं C(3, 2) दिए हैं। मान लीजिए B (x1, y1) एवं D (x2, y2) दो अन्य शीर्ष हैं।
AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)
`sqrt((x_1 + 1)^2 + (y_1 - 2)^2) = sqrt((x_1 - 3)^2 + (y_1 - 2)^2)`
⇒ (x1 + 1)2 + (y1 - 2)2 = (x1 - 3)2 + (y1 - 2)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x1 + 1)2 = (x1 - 3)2
⇒ x12 + 2x1 + 1 = x12 - 6x1 + 9
⇒ 2x1 + 6x1 = 9 - 1
⇒ 8x1 = 8
⇒ x1 = 88 = 1 ….(1)
∵ AB2 + BC2 = AC2 (समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x1 + 1)2 + (y1 - 2)2 + (x1 - 3)2 + (y1 - 2)2 = (3 + 1)2 + (2 - 2)2
⇒ x12 + 2x1 + 1 + y12 – 4y1 + 4 + x12 - 6x1 + 9 + y12 - 4y1 + 4 = 16 - 0
⇒ 2x12 + 2y12 - 4x1 - 8y1 = 16 - 18 = -2
⇒ x12 + y12 - 2x1 - 4y1 + 1 = 0 …(2)
⇒ x1 = 1 का मान समीकरण (1) से समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ (1)2 + (y1)2 - 2 (1) - 4y1 + 1 = 0
⇒ y12 - 4y1 = 0
⇒ y1 (y1 - 4) = 0
या तो y1 = 0 अथवा y1 - 4 = 0
⇒ y1 = 4
B के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4) हैं।
AD = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं)
⇒ `sqrt((x_2 + 1)^2 + (y_2 - 2)^2) = sqrt((x_2 - 3)^2 + (y_2 - 2)^2)`
⇒ (x2 + 1)2 + (y2 - 2)2 = (x2 - 3)2 + (y2 - 2)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x2 + 1)2 = (x2 - 3)2
⇒ x22 + 2x2 + 1 = x22 - 6x2 + 9
⇒ 8x2 = 8
⇒ x2 = `8/8` = 1 . …(3)
AD2 + CD2 = AC2 (समकोण ∆ADC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x2 + 1)2 + (y2 - 2)2 + (x2 - 3)2 + (y2 - 2)2 = (3 + 1)2 + (2 - 2)2
⇒ x22 + 2x2 + 1 + y22 - 4y2 + 4 + x22 - 6x2 + 9 + y22 - 4y2 + 4 = 16 + 0
⇒ 2x22 + 2y22 - 4x2 - 8y2 = 16 - 18 = -2
⇒ x22 + y22 – 2x2 - 4y2 + 1 = 0 ….(4)
x2 = 1 का मान समीकरण (3) से समीकरण (4) में रखने पर,
⇒ (1)² + y22 - 2 (1) - 4y2 + 1 = 0
⇒ 1 + y22 - 2 - 4y2 + 1 = 0
⇒ y22 - 4y2 = 0
⇒ y2 (y2 - 4) = 0
या तो y2 = 0 अथवा y2 - 4 = 0
⇒ y2 = 4
D के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4)
अतः अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) एवं (1, 4) हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित बिंदुओं को जोड़नेवाले रेखाखंड त्रिभुज बना सकते हैं क्या? यदि त्रिभुज बनता हो तो भुजाओं के आधार पर त्रिभुज का प्रकार लिखिए।
L(6, 4), M(-5, -3), N(-6, 8)
बिंदुओं (0,0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, –3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
बिंदु P(–6, 8) की मूलबिंदु से दूरी ______ है।
शीर्षों (0, 4), (0, 0) और (3, 0) वाले त्रिभुज का परिमाप ______ है।
बिंदु (– 4, 0), (4, 0) और (0, 3) निम्नलिखित के शीर्ष ______ हैं।
एक वृत्त का केंद्र मूलबिंदु पर है तथा एक बिंदु P(5, 0) इस वृत्त पर स्थित है। बिंदु Q(6, 8) इस वृत्त के बाहर स्थित है।
बिंदुओं A(–5, 6), B(–4, –2) और C(7, 5) से बनने वाले त्रिभुज का प्रकार बताइए।
a का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदुओं A(–3, –14) और B(a, –5) के बीच की दूरी 9 इकाई है।
