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प्रश्न
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
वर्ग ABCD में दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) एवं C(3, 2) दिए हैं। मान लीजिए B (x1, y1) एवं D (x2, y2) दो अन्य शीर्ष हैं।
AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)
`sqrt((x_1 + 1)^2 + (y_1 - 2)^2) = sqrt((x_1 - 3)^2 + (y_1 - 2)^2)`
⇒ (x1 + 1)2 + (y1 - 2)2 = (x1 - 3)2 + (y1 - 2)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x1 + 1)2 = (x1 - 3)2
⇒ x12 + 2x1 + 1 = x12 - 6x1 + 9
⇒ 2x1 + 6x1 = 9 - 1
⇒ 8x1 = 8
⇒ x1 = 88 = 1 ….(1)
∵ AB2 + BC2 = AC2 (समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x1 + 1)2 + (y1 - 2)2 + (x1 - 3)2 + (y1 - 2)2 = (3 + 1)2 + (2 - 2)2
⇒ x12 + 2x1 + 1 + y12 – 4y1 + 4 + x12 - 6x1 + 9 + y12 - 4y1 + 4 = 16 - 0
⇒ 2x12 + 2y12 - 4x1 - 8y1 = 16 - 18 = -2
⇒ x12 + y12 - 2x1 - 4y1 + 1 = 0 …(2)
⇒ x1 = 1 का मान समीकरण (1) से समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ (1)2 + (y1)2 - 2 (1) - 4y1 + 1 = 0
⇒ y12 - 4y1 = 0
⇒ y1 (y1 - 4) = 0
या तो y1 = 0 अथवा y1 - 4 = 0
⇒ y1 = 4
B के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4) हैं।
AD = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं)
⇒ `sqrt((x_2 + 1)^2 + (y_2 - 2)^2) = sqrt((x_2 - 3)^2 + (y_2 - 2)^2)`
⇒ (x2 + 1)2 + (y2 - 2)2 = (x2 - 3)2 + (y2 - 2)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x2 + 1)2 = (x2 - 3)2
⇒ x22 + 2x2 + 1 = x22 - 6x2 + 9
⇒ 8x2 = 8
⇒ x2 = `8/8` = 1 . …(3)
AD2 + CD2 = AC2 (समकोण ∆ADC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x2 + 1)2 + (y2 - 2)2 + (x2 - 3)2 + (y2 - 2)2 = (3 + 1)2 + (2 - 2)2
⇒ x22 + 2x2 + 1 + y22 - 4y2 + 4 + x22 - 6x2 + 9 + y22 - 4y2 + 4 = 16 + 0
⇒ 2x22 + 2y22 - 4x2 - 8y2 = 16 - 18 = -2
⇒ x22 + y22 – 2x2 - 4y2 + 1 = 0 ….(4)
x2 = 1 का मान समीकरण (3) से समीकरण (4) में रखने पर,
⇒ (1)² + y22 - 2 (1) - 4y2 + 1 = 0
⇒ 1 + y22 - 2 - 4y2 + 1 = 0
⇒ y22 - 4y2 = 0
⇒ y2 (y2 - 4) = 0
या तो y2 = 0 अथवा y2 - 4 = 0
⇒ y2 = 4
D के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4)
अतः अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) एवं (1, 4) हैं।
संबंधित प्रश्न
नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए।
P(−2, 3), Q(1, 2), R(4, 1)
निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं।
बिंदुओं (0, 5) और (–5, 0) के बीच की दूरी ______ है।
AOBC एक आयत है, जिसके तीन शीर्ष A(0, 3), O(0, 0) और B(5, 0) हैं। इसका विकर्ण ______ हैं।
बिंदु (– 4, 0), (4, 0) और (0, 3) निम्नलिखित के शीर्ष ______ हैं।
बिंदुओं A(1, 5) और B(4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्वि भाजक y-अक्ष को निम्नलिखित बिंदु पर काटता ______ हैं।
आकृति में दर्शाए गए त्रिभुज AOB के तीनों शीर्षो से समदूरस्थ बिंदु के निर्देशांक ______ हैं।
एक वृत्त का केंद्र मूलबिंदु पर है तथा एक बिंदु P(5, 0) इस वृत्त पर स्थित है। बिंदु Q(6, 8) इस वृत्त के बाहर स्थित है।
बिंदु A(2, 7), बिंदुओं P(6, 5) और Q(0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
किसी वृत्त का केन्द्र (2a, a – 7) है। यदि वृत्त, बिंदु (11, – 9) से होकर जाता है और उसका व्यास `10sqrt(2)` इकाई है, तो a के मान ज्ञात कीजिए।
