Question

बिंदु A(2, 7), बिंदुओं P(6, 5) और Q(0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

विकल्प

• सत्य

• असत्य

Answer 1

यह कथन असत्य है।

स्पष्टीकरण:

यदि A(2, 7) P(6, 5) और Q(0, – 4) के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है,

तब AP = AQ

∴ AP = `sqrt((6 - 2)^2 + (5 - 7)^2`

= `sqrt((4)^2 + (-2)^2`

= `sqrt(16 + 4)`

= `sqrt(20)`

और A = `sqrt((0 - 2)^2 + (-4 - 7)^2`

= `sqrt((-2)^2 + (-11)^2`

= `sqrt(4 + 121)`

= `sqrt(125)`

अतः, A, PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।

Answer 2

यह कथन असत्य है।

स्पष्टीकरण:

यदि बिंदु A(2, 7) रेखा खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है, तो बिंदु A लंबवत समद्विभाजक के समीकरण को संतुष्ट करता है।

अब, हम लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात करते हैं।

इसके लिए हम लंब समद्विभाजक का ढलान ज्ञात करते हैं।

∴ लम्ब समद्विभाजक का ढलान = `(-1)/("बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का ढलान"  (5, -3)  "और"  (0, -4))`

= `(-1)/((-4 - (-3))/(0 - 5))`  ...`[∵ "ढलान"  = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)]`

= 5   

[चूंकि, लंब समद्विभाजक रेखा खंड पर लंबवत है, इसलिए इसकी ढलान की स्थिति है, m₁ · m₂ = – 1]

चूंकि, लंब समद्विभाजक बिंदुओं (5, – 3) और (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है।

∴ PQ का मध्य-बिंदु = `((5 + 0)/2, (-3 - 4)/2) = (5/2, (-7)/2)`

तो, लम्ब समद्विभाजक का समीकरण जिसका ढलान `1/3` है और मध्य-बिंदु `(5/2, (-7)/2)` से होकर गुजरता है।

`(y + 7/2) = 5(x - 5/2)`   ...[∵ रेखा का समीकरण है (y – y₁) = m(x – x₁]

⇒ 2y + 7 = 10x – 25

⇒ 10x – 2y – 32 = 0

⇒ 10x – 2y = 32

⇒ 5x – y = 16   ...(i)

अब, जांचें कि बिंदु A(2, 7) समीकरण (i) पर स्थित है या नहीं।

5 × 2 – 7

= 10 – 7

= 3 ≠ 16

अत:, बिंदु A(2, 7) रेखा खंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।