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Question
बिंदु A(2, 7), बिंदुओं P(6, 5) और Q(0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
Options
सत्य
असत्य
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Solution 1
यह कथन असत्य है।
स्पष्टीकरण:
यदि A(2, 7) P(6, 5) और Q(0, – 4) के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है,
तब AP = AQ
∴ AP = `sqrt((6 - 2)^2 + (5 - 7)^2`
= `sqrt((4)^2 + (-2)^2`
= `sqrt(16 + 4)`
= `sqrt(20)`
और A = `sqrt((0 - 2)^2 + (-4 - 7)^2`
= `sqrt((-2)^2 + (-11)^2`
= `sqrt(4 + 121)`
= `sqrt(125)`
अतः, A, PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।
Solution 2
यह कथन असत्य है।
स्पष्टीकरण:
यदि बिंदु A(2, 7) रेखा खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है, तो बिंदु A लंबवत समद्विभाजक के समीकरण को संतुष्ट करता है।
अब, हम लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात करते हैं।
इसके लिए हम लंब समद्विभाजक का ढलान ज्ञात करते हैं।
∴ लम्ब समद्विभाजक का ढलान = `(-1)/("बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का ढलान" (5, -3) "और" (0, -4))`
= `(-1)/((-4 - (-3))/(0 - 5))` ...`[∵ "ढलान" = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)]`
= 5
[चूंकि, लंब समद्विभाजक रेखा खंड पर लंबवत है, इसलिए इसकी ढलान की स्थिति है, m1 · m2 = – 1]
चूंकि, लंब समद्विभाजक बिंदुओं (5, – 3) और (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है।
∴ PQ का मध्य-बिंदु = `((5 + 0)/2, (-3 - 4)/2) = (5/2, (-7)/2)`
तो, लम्ब समद्विभाजक का समीकरण जिसका ढलान `1/3` है और मध्य-बिंदु `(5/2, (-7)/2)` से होकर गुजरता है।
`(y + 7/2) = 5(x - 5/2)` ...[∵ रेखा का समीकरण है (y – y1) = m(x – x1]
⇒ 2y + 7 = 10x – 25
⇒ 10x – 2y – 32 = 0
⇒ 10x – 2y = 32
⇒ 5x – y = 16 ...(i)
अब, जांचें कि बिंदु A(2, 7) समीकरण (i) पर स्थित है या नहीं।
5 × 2 – 7
= 10 – 7
= 3 ≠ 16
अत:, बिंदु A(2, 7) रेखा खंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।
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