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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि, बिंदु P(1, −2), Q(5, 2), R(3, −1) और S(−1, −5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु हैं।
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उत्तर
मानो कि, P(1, −2) = (x1, y1); Q(5, 2) = (x2, y2); R(3, −1) = (x3, y3) तथा S(−1, −5) = (x4, y4)।
दूरी सूत्र से,
PQ = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`
= `sqrt((5 - 1)^2 + [2 - (-2)]^2)`
= `sqrt((4)^2 + (4)^2)`
= `sqrt(16 + 16)`
= `sqrt32`
= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`
= `4sqrt2` ...(1)
QR = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`
= `sqrt((3 - 5)^2 + (-1 - 2)^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-3)^2)`
= `sqrt(4 + 9)`
= `sqrt13` ...(2)
RS = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`
= `sqrt((-1 - 3)^2 + [-5 - (-1)]^2)`
= `sqrt((-4)^2 + (-4)^2)`
= `sqrt(16 + 16)`
= `sqrt32`
= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`
= `4sqrt2` ...(3)
PS = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`
= `sqrt((-1 - 1)^2 + [-5 - (-2)]^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-5 + 2)^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-3)^2)`
= `sqrt(4 + 9)`
= `sqrt13` ...(4)
`square`PQRS में,
PQ = RS ....[(1) और (3) से]
QR = PS ...[(2) और (4) से]
`square` PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। ...(यदि किसी चर्तुभुज में सम्मुख भुजाओं की जोड़ियाँ परस्पर सर्वांगसम हो, तो वह समांतर चर्तुभुज होता है।)
बिंदु P(1, −2), Q(5, 2), R(3, −1) और S(−1, −5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु है।
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