Question

सिद्ध कीजिए कि, बिंदु P(1, −2), Q(5, 2), R(3, −1) और S(−1, −5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु हैं।

Answer 1

मानो कि, P(1, −2) = (x₁, y₁); Q(5, 2) = (x₂, y₂); R(3, −1) = (x₃, y₃) तथा S(−1, −5) = (x₄, y₄)। 

दूरी सूत्र से,

PQ = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

= `sqrt((5 - 1)^2 + [2 - (-2)]^2)`

= `sqrt((4)^2 + (4)^2)`

= `sqrt(16 + 16)`

= `sqrt32`

= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`

= `4sqrt2`  ...(1)

QR = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`

= `sqrt((3 - 5)^2 + (-1 - 2)^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (-3)^2)`

= `sqrt(4 + 9)`

= `sqrt13`  ...(2)

RS = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`

= `sqrt((-1 - 3)^2 + [-5 - (-1)]^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (-4)^2)`

= `sqrt(16 + 16)`

= `sqrt32`

= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`

= `4sqrt2`  ...(3)

PS = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`

= `sqrt((-1 - 1)^2 + [-5 - (-2)]^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (-5 + 2)^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (-3)^2)`

= `sqrt(4 + 9)`

= `sqrt13`  ...(4)

`square`PQRS में,

PQ = RS  ....[(1) और (3) से]

QR = PS  ...[(2) और (4) से]

`square` PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। ...(यदि किसी चर्तुभुज में सम्मुख भुजाओं की जोड़ियाँ परस्पर सर्वांगसम हो, तो वह समांतर चर्तुभुज होता है।)

बिंदु P(1, −2), Q(5, 2), R(3, −1) और S(−1, −5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु है।