Question

यदि बिंदु P(2, 1), Q(-1, 3), R(-5, -3) और S(-2, -5) हो तो सिद्ध कीजिए कि `square`PQRS एक आयत है।  

Answer 1

मानो कि, P(2, 1) = (x₁, y₁); Q(-1, 3) = (x₂, y₂); R(-5, -3) = (x₃, y₃) और S(-2, -5) = (x₄, y₄). 

दूरी सूत्र से,

PQ = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

= `sqrt((-1 - 2)^2 + (3 - 1)^2)`

= `sqrt((-3)^2 + (2)^2) = sqrt(9 + 4)`

= `sqrt13` ...................(1)

QR = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`

= `sqrt([-5 - (-1)]^2 + (-3 - 3)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt(16 + 36) = sqrt52`

= `sqrt(2 xx 2 xx 13)`

= `2sqrt13` ..................(2)

RS = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`

= `sqrt([-2 - (-5)]^2 + [-5 - (-3)]^2)`

= `sqrt((-2 + 5)^2 + (-5 + 3)^2)`

= `sqrt(3^2 + (-2)^2) = sqrt(9 + 4)`

= `sqrt13` .................(3)

PS = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`

= `sqrt((-2 - 2)^2 + (-5 - 1)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt(16 + 36) = sqrt52 = sqrt(2 xx 2 xx 13)`

= `2sqrt13` ......................(4)

`square`PQRS में,

PQ = RS .........................[(1) और (3) से]

QR = PS ..........................[(2) और (4) से]

यदि किसी भी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं की जोड़ियाँ परस्पर सर्वांगसम हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है |

∴ `square`PQRS एक समांतर चतुर्भुज है |

दूरी सूत्र से,

PR = `sqrt((x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2)`

= `sqrt((-5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2)`

= `sqrt((-7)^2 + (-4)^2) = sqrt(49 + 16)`

= `sqrt65` ........................(5)

QS = `sqrt((x_4 - x_2)^2 + (y_4 - y_2)^2)`

= `sqrt([-2 - (-1)]^2 + ((-5 - 3)^2)`

= `sqrt((-1)^2 + (-8)^2) = sqrt(1 + 64)`

= `sqrt65` .......................................(6)

समांतर चतुर्भुज PQRS में,

PR = QS ............................[(5) और (6) से]

यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर सर्वांगसम हों, तो वह एक आयत है |

∴ `sqrt`PQRS एक आयत है |