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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि, P(2, -2), Q(7, 3), R(11, -1) और S(6, -6) समांतर चर्तुभुज के शीर्षबिंदु है।
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उत्तर
P(2, -2); Q(7, 3); R(11, -1) और S(6, -6).
दूरी सूत्र से,
PQ = `sqrt((7 - 2)^2 + [3 - (-2)]^2)`
∴ PQ = `sqrt(5^2 + 5^2)`
∴ PQ = `sqrt(25 + 25)`
∴ PQ = `sqrt50`
∴ PQ = `sqrt(5 xx 5 xx 2)`
∴ PQ = `5sqrt2` .............(1)
QR = `sqrt((11 - 7)^2 + (-1 - 3)^2)`
∴ QR = `sqrt(4^2 + (-4)^2)`
∴ QR = `sqrt(16 + 16)`
∴ QR = `sqrt32`
∴ QR = `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`
∴ QR = `4sqrt2` ...............(2)
RS = `sqrt((6 - 11)^2 + [-6 - (-1)]^2)`
∴ RS = `sqrt((-5)^2 + (-5)^2)`
∴ RS = `sqrt(25 + 25)`
∴ RS = `sqrt50`
∴ RS = `sqrt(5 xx 5 xx 2)`
∴ RS = `5sqrt2` ..................(3)
PS = `sqrt((6 - 2)^2 + [-6 - (-2)]^2)`
∴ PS = `sqrt(4^2 + (-4)^2)`
∴ PS = `sqrt(16 + 16)`
∴ PS = `sqrt32`
∴ PS = `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`
∴ PS = `2 xx 2 xx sqrt2`
∴ PS = `4sqrt2` ..................(4)
`square`PQRS में,
PQ = RS ...............[(1) और (3) से]
QR = PS ...............[(2) और (4) से]
जब किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है |
∴ `square`PQRS एक समांतर चतुर्भुज है |
∴ P(2, -2); Q(7, 3); R(11, -1) और S(6, -6) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु हैं |
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