Question

यदि (a, b), बिंदुओं A(10, –6) और B(k, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है तथा a – 2b = 18 है, तो k का मान और दूरी AB ज्ञात कीजिए।

Answer 1

चूँकि, (a, b) रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है।

∴ (a, b) = `((10 + "k")/2, (-6 + 4)/2)`  ...`["चूंकि, बिंदु वाले रेखा खंड का मध्य-बिंदु"  (x_1, "y"_1)  "और"  (x_2, y_2) = ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`

⇒ (a, b) = `((10 + "k")/2, -1)`

अब, दोनों पक्षों के निर्देशांकों को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है।

∴ a = `(10 + "k")/2`  ...(i)

और b = –1   ...(ii)

दिया गया है, a – 2b = 18

समीकरण (ii) से,

a – 2(–1) = 18

⇒ a + 2 = 18

⇒ a = 16

समीकरण (i) से,

16 = `(10 + "k")/2`

⇒ 32 = 10 + k

⇒ k = 22

अतः, k का अभीष्ट मान 22 है।

⇒ k = 22

∴ A = (10 – 6), B = (22, 4)

अब, A(10, –6) और B(22, 4) के बीच की दूरी,

AB = `sqrt((22 - 10)^2 + (4 + 6)^2`  ...`[∵ "बिंदुओं के बीच की दूरी"  (x_1, y_1)  "और"  (x_2, y_2), d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`

= `sqrt((12)^2 + (10)^2`

= `sqrt(144 + 100)`

= `sqrt(244)`

= `2sqrt(61)`

अतः, AB की आवश्यक दूरी `2sqrt(61)` है।