Question

बिंदुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए दिए हुए बिन्दुओं A(6, -6), B(3, -7) और C(3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र O(x, y) है तो OA = OB = OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

⇒ `sqrt((x - 6)^2 + (y + 6)^2) = sqrt((x - 3)^2 + (y + 7)^2) = sqrt((x - 3)^2 + (y - 3)^2)`
⇒ (x - 6)² + (y + 6)² = (x - 3)² + (y + 7)² = (x - 3)² + (y - 3)²

(दोनों ओर वर्ग करने पर)

⇒ (x - 6)² + (y + 6)² = (x - 3)² + (y + 7)² (OA = OB से)

⇒ x² - 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² - 6x + 9 + y² + 14y + 49

⇒ – 12x + 6x + 12y - 14y + 72 - 58 = 0

⇒ – 6x - 2y + 14 = 0

⇒ 3x + y = 7 ….(1)

⇒ (x - 3)² + (y + 7)² = (x - 3)² + (y - 3)² (OB = OC से)

⇒ x² - 6x + 9 + y² + 14y + 49 = x² - 6x + 9 + y² - 6y + 9

⇒ -6x + 6x + 14y + 6y = 18 - 58

⇒ 20y = -40

⇒ y = `(-40)/20 = -2` …..(2)

समीकरण (2) से y = -2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,

⇒ 3x - 2 = 7

⇒ 3x = 7 + 2

⇒ 3x = 9

⇒ x = `9/3` = 3

अतः वृत्त के केन्द्र के अभीष्ट निर्देशांक (3, -2) हैं।