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प्रश्न
बिंदुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए दिए हुए बिन्दुओं A(6, -6), B(3, -7) और C(3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र O(x, y) है तो OA = OB = OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
⇒ `sqrt((x - 6)^2 + (y + 6)^2) = sqrt((x - 3)^2 + (y + 7)^2) = sqrt((x - 3)^2 + (y - 3)^2)`
⇒ (x - 6)2 + (y + 6)2 = (x - 3)2 + (y + 7)2 = (x - 3)2 + (y - 3)2
(दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x - 6)2 + (y + 6)2 = (x - 3)2 + (y + 7)2 (OA = OB से)
⇒ x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 + 14y + 49
⇒ – 12x + 6x + 12y - 14y + 72 - 58 = 0
⇒ – 6x - 2y + 14 = 0
⇒ 3x + y = 7 ….(1)
⇒ (x - 3)2 + (y + 7)2 = (x - 3)2 + (y - 3)2 (OB = OC से)
⇒ x2 - 6x + 9 + y2 + 14y + 49 = x2 - 6x + 9 + y2 - 6y + 9
⇒ -6x + 6x + 14y + 6y = 18 - 58
⇒ 20y = -40
⇒ y = `(-40)/20 = -2` …..(2)
समीकरण (2) से y = -2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ 3x - 2 = 7
⇒ 3x = 7 + 2
⇒ 3x = 9
⇒ x = `9/3` = 3
अतः वृत्त के केन्द्र के अभीष्ट निर्देशांक (3, -2) हैं।
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