Question

किसी वृत्त का केन्द्र (2a, a – 7) है। यदि वृत्त, बिंदु (11, – 9) से होकर जाता है और उसका व्यास `10sqrt(2)` इकाई है, तो a के मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दी गई शर्त से,

केंद्र C(2a, a – 7) और बिंदु P(11, – 9) के बीच की दूरी, जो वृत्त पर स्थित है = वृत्त की त्रिज्या

∴ वृत्त की त्रिज्या = `sqrt((11 - 2a)^2 + (-9 - a + 7)^2`  ...(i) `[∵ "दो बिंदुओं के बीच की दूरी"  (x_1, y_1)  "और"  (x_2, y_2) = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`

दिया गया है कि, व्यास की लंबाई = `10sqrt(2)`

∴ त्रिज्या की लंबाई = `"व्यास की लंबाई"/2`

= `(10sqrt(2))/2`

= `5sqrt(2)`

इस मान को समीकरण (i) में रखने पर, हम पाते हैं,

`5sqrt(2) = sqrt((11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है,

50 = (11 – 2a)² + (2 + a)²

⇒ 50 = 121 + 4a² – 44a + 4 + a² + 4a

⇒ 5a² – 40a + 75 = 0

⇒ a² – 8a + 15 = 0

⇒ a² – 5a – 3a + 15 = 0   ...[गुणनखंडन विधि द्वारा]

⇒ a(a – 5) – 3(a – 5) = 0

⇒ (a – 5)(a – 3) = 0

∴ a = 3, 5

अतः, a के अभीष्ट मान 5 और 3 हैं।