Question

नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए।

P(−2, 3), Q(1, 2), R(4, 1)

सिद्ध करो कि P(−2, 3); Q(1, 2) तथा R(4, 1) एकरेखीय बिंदु हैं।

Answer 1

P(−2, 3); Q(1, 2); R(4, 1).

दूरी सूत्र से,

d(P, Q) = `sqrt([1 - (-2)]^2 + (2 - 3)^2)`

= `sqrt(3^2 + (-1)^2)`

= `sqrt(9 + 1)`

= `sqrt10`    ...(1)

d(Q, R) = `sqrt((4 - 1)^2 + (1 - 2)^2)`

= `sqrt(3^2 + (-1)^2)`

= `sqrt(9 + 1)`

= `sqrt10`   ...(2)

d(P, R) = `sqrt([4 - (-2)]^2 + (1 - 3)^2)`

= `sqrt(6^2 + (-2)^2)`

= `sqrt(36 + 4) = sqrt40`

= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 5)`

= `2sqrt10`    ...(3)

(1) और (2) को जोड़ने पर,

d(P, Q) + d(Q, R) = `sqrt10 + sqrt10`

∴ d(P, Q) + d(Q, R) = `2sqrt10`

∴ d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R)    ...[(3) से]

∴ बिंदु P, Q तथा R एकरेखीय है।

Answer 2

मानो, P(−2, 3) ≡ (x₁, y₁); Q(1, 2) ≡ (x₂, y₂) तथा R(4, 1) ≡ (x₃, y₃).

रेखा PQ का ढाल = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)`

= `(2 - 3)/(1 - (-2))`

= `(-1)/(1 + 2)`

= `-1/3`

रेखा QR का ढाल = `(y_3 - y_2)/(x_3 - x_2)`

= `(1- 2)/(4 - 1)`

= `-1/3`

∴ रेखा PQ का ढाल = रेखा QR का ढाल तथा बिंदु Q सामान्य बिंदु है।

∴ P(−2, 3); Q(1, 2) तथा R(4, 1) एकरेखीय बिंदु हैं।