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प्रश्न
नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए।
P(−2, 3), Q(1, 2), R(4, 1)
सिद्ध करो कि P(−2, 3); Q(1, 2) तथा R(4, 1) एकरेखीय बिंदु हैं।
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उत्तर १
P(−2, 3); Q(1, 2); R(4, 1).
दूरी सूत्र से,
d(P, Q) = `sqrt([1 - (-2)]^2 + (2 - 3)^2)`
= `sqrt(3^2 + (-1)^2)`
= `sqrt(9 + 1)`
= `sqrt10` ...(1)
d(Q, R) = `sqrt((4 - 1)^2 + (1 - 2)^2)`
= `sqrt(3^2 + (-1)^2)`
= `sqrt(9 + 1)`
= `sqrt10` ...(2)
d(P, R) = `sqrt([4 - (-2)]^2 + (1 - 3)^2)`
= `sqrt(6^2 + (-2)^2)`
= `sqrt(36 + 4) = sqrt40`
= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 5)`
= `2sqrt10` ...(3)
(1) और (2) को जोड़ने पर,
d(P, Q) + d(Q, R) = `sqrt10 + sqrt10`
∴ d(P, Q) + d(Q, R) = `2sqrt10`
∴ d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) ...[(3) से]
∴ बिंदु P, Q तथा R एकरेखीय है।
उत्तर २
मानो, P(−2, 3) ≡ (x1, y1); Q(1, 2) ≡ (x2, y2) तथा R(4, 1) ≡ (x3, y3).
रेखा PQ का ढाल = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)`
= `(2 - 3)/(1 - (-2))`
= `(-1)/(1 + 2)`
= `-1/3`
रेखा QR का ढाल = `(y_3 - y_2)/(x_3 - x_2)`
= `(1- 2)/(4 - 1)`
= `-1/3`
∴ रेखा PQ का ढाल = रेखा QR का ढाल तथा बिंदु Q सामान्य बिंदु है।
∴ P(−2, 3); Q(1, 2) तथा R(4, 1) एकरेखीय बिंदु हैं।
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