Question

किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।

Answer 1

वर्ग ABCD में दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) एवं C(3, 2) दिए हैं। मान लीजिए B (x₁, y₁) एवं D (x₂, y₂) दो अन्य शीर्ष हैं।

AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)

`sqrt((x_1 + 1)^2 + (y_1 - 2)^2) = sqrt((x_1 - 3)^2 + (y_1 - 2)^2)`

⇒ (x₁ + 1)² + (y₁ - 2)² = (x₁ - 3)² + (y₁ - 2)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)

⇒ (x₁ + 1)² = (x₁ - 3)²

⇒ x₁² + 2x₁ + 1 = x₁² - 6x₁ + 9

⇒ 2x₁ + 6x₁ = 9 - 1

⇒ 8x₁ = 8
⇒ x₁ = 88 = 1 ….(1)

∵ AB² + BC² = AC² (समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से)

⇒ (x₁ + 1)² + (y₁ - 2)² + (x₁ - 3)² + (y₁ - 2)² = (3 + 1)² + (2 - 2)²

⇒ x₁² + 2x₁ + 1 + y₁² – 4y₁ + 4 + x₁² - 6x₁ + 9 + y₁² - 4y₁ + 4 = 16 - 0

⇒ 2x₁² + 2y₁² - 4x₁ - 8y₁ = 16 - 18 = -2

⇒ x₁² + y₁² - 2x₁ - 4y₁ + 1 = 0 …(2)

⇒ x₁ = 1 का मान समीकरण (1) से समीकरण (2) में रखने पर,

⇒ (1)² + (y₁)² - 2 (1) - 4y₁ + 1 = 0

⇒ y₁² - 4y₁ = 0

⇒ y₁ (y₁ - 4) = 0

या तो y₁ = 0 अथवा y₁ - 4 = 0

⇒ y₁ = 4

B के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4) हैं।

AD = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं)

⇒ `sqrt((x_2 + 1)^2 + (y_2 - 2)^2) = sqrt((x_2 - 3)^2 + (y_2 - 2)^2)`

⇒ (x₂ + 1)² + (y₂ - 2)² = (x₂ - 3)² + (y₂ - 2)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)

⇒ (x₂ + 1)² = (x₂ - 3)²

⇒ x₂² + 2x₂ + 1 = x₂² - 6x₂ + 9

⇒ 8x₂ = 8

⇒ x₂ = `8/8` = 1 . …(3)

AD² + CD² = AC² (समकोण ∆ADC में पाइथागोरस प्रमेय से)

⇒ (x₂ + 1)² + (y₂ - 2)² + (x₂ - 3)² + (y₂ - 2)² = (3 + 1)² + (2 - 2)²

⇒ x₂² + 2x₂ + 1 + y₂² - 4y₂ + 4 + x₂² - 6x₂ + 9 + y₂² - 4y₂ + 4 = 16 + 0

⇒ 2x₂² + 2y₂² - 4x₂ - 8y₂ = 16 - 18 = -2

⇒ x₂² + y₂² – 2x₂ - 4y₂ + 1 = 0 ….(4)

x₂ = 1 का मान समीकरण (3) से समीकरण (4) में रखने पर,

⇒ (1)² + y₂² - 2 (1) - 4y₂ + 1 = 0

⇒ 1 + y₂² - 2 - 4y₂ + 1 = 0

⇒ y₂² - 4y₂ = 0

⇒ y₂ (y₂ - 4) = 0

या तो y₂ = 0 अथवा y₂ - 4 = 0

⇒ y₂ = 4

D के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4)

अतः अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) एवं (1, 4) हैं।