Question

α का वह वास्तविक मान, जिसके लिए व्यंजक `(1 - i sin alpha)/(1 + 2i sin alpha)` शुद्धत: वास्तविक है, निम्नलिखित में से कौन सा है:

विकल्प

• `(n + 1)pi/2`

• `(2n + 1)pi/2`

• nπ

• इनमें से कोई नहीं, जहाँ n ∈ N

Answer 1

nπ

स्पष्टीकरण:

देखिए z = `(1 - i sin alpha)/(1 + 2i sin alpha)`

संयुग्म के साथ गुणा करें |

= `((1 - i sin alpha)(1 - 2i sin alpha))/((1 + 2i sin alpha)(1 - 2i sin alpha))`

= `(1 - 2i sin alpha - i sin alpha + 2i^2 sin^2 alpha)/((1)^2 - (2i sin alpha)^2`

= `(1 - 3i sin alpha - 2 sin^2 alpha)/(1 - 4i^2 sin^2 alpha)`

= `((1 - 2 sin^2 alpha) - 3i sin alpha)/(1 + 4 sin^2 alpha)`

आगे हल करें।

= `(1 - 2 sin^2 alpha)/(1 + 4 sin^2 alpha) - (3sin alpha)/(1 + 4 sin^2 alpha) .i`

जानते हैं कि, z विशुद्ध रूप से वास्तविक है।

= `(-3 sin alpha)/(1 + 4 sin^2 alpha)` = 0

⇒ sinα = 0

⇒ α = nπ, n ∈ N

सही विकल्प nπ है।