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प्रश्न
एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 15 m, 16 m और 17 m हैं। इस खेत में चरने के लिए, इसके तीनों कोनों से एक गाय, एक भैंस और एक घोड़े को अलग-अलग 7 m लंबी रस्सियों से बाँध दिया गया है। खेत के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें ये तीनों पशु चर नहीं पाएँगे।
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उत्तर
दिया गया है कि, एक त्रिकोणीय खेत जिसके तीन कोनों पर एक गाय, एक भैंस और एक घोड़ा अलग-अलग रस्सियों से बंधे हैं।
तो, प्रत्येक जानवर ने त्रिकोणीय क्षेत्र के प्रत्येक कोने में एक सेक्टर के रूप में खेत को चरा।
दिया गया है, प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 7 m
अब, ∠C वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= `(∠"C")/360^circ xx pi"r"^2`
= `(∠"C")/360^circ xx pi xx (7)^2"m"^2`
∠B वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= `(∠"B")/360^circ xx pi"r"^2`
= `(∠"B")/360^circ xx pi xx (7)^2"m"^2`
और ∠H वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= `(∠"H")/360^circ xx pi"r"^2`
= `(∠"H")/360^circ xx pi xx (7)^2"m"^2`
इसलिए, तीन सेक्टरों के क्षेत्रफल का योग (cm2 में) है।
= `(∠"C")/360^circ xx pi xx (7)^2 + (∠"B")/360^circ xx pi xx (7)^2 + (∠"H")/360^circ xx pi xx (7)^2`
= `((∠"C" + ∠"B" + ∠"H"))/360^circ xx pi xx 49`
= `180^circ/360^circ xx 22/7 xx 49`
= 11 × 7
= 77 cm2
दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ a = 15, b = 16 और c = 17 हैं।
अब, त्रिभुज की अर्ध-परिधि,
s = `("a" + "b" + "c")/2`
⇒ `(15 + 16 + 17)/2 = 48/2` = 24
∴ त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `sqrt("s"("s" - "a")("s" - "b")("s" - "c"))` ...[हेरॉन के सूत्र द्वारा]
= `sqrt(24 * 9 * 8* 7)`
= `sqrt(64 * 9 * 21)`
= `8 xx 3sqrt(21)`
= `24sqrt(21) "m"^2`
तो, खेत का वह क्षेत्र जो तीन जानवरों द्वारा नहीं चरा जा सकता है।
= त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल – प्रत्येक क्षेत्रीय क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `24sqrt(21) - 77 "m"^2`
अत:, खेत का आवश्यक क्षेत्रफल जिसे तीन जानवर नहीं चर सकते `(24sqrt(21) - 77) "m"^2` है।
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