Question

बराबर त्रिज्या 3.5 cm वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गये हैं कि इनमें से प्रत्येक अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता है। इन वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया है, तीन वृत्त इस प्रकार हैं कि उनमें से प्रत्येक अन्य दो को स्पर्श करता है।

अब, AB, BC और CA को मिलाएँ।

चूँकि, प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या 3.5 cm है।

तो, AB = 2 × वृत्त की त्रिज्या

= 2 × 3.5 cm

= 7 cm

∴ AC = BC = AB = 7 cm

तो, ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 7 cm है।

हम जानते हैं कि, एक समबाहु त्रिभुज की दो आसन्न भुजाओं के बीच प्रत्येक कोण 60° का होता है।

∴ ∠A = 60° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= `(∠"A")/360^circ xx pi"r"^2`

= `60^circ/360^circ xx pi xx (3.5)^2 "cm"^2`

इसलिए, प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 3 × कोण A वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= `3 xx 60^circ/360^circ xx pi xx (3.5)^2 "cm"^2`

= `1/2 xx 22/7 xx 3.5 xx 3.5  "cm"^2`

= `11 xx 5/10 xx 35/10 "cm"^2`

= `77/4 "cm"^2`

= 19.25 cm²

और ΔABC का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4 xx (7)^2 "cm"^2`   ...[∵ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4 xx ("भुजा")^2 `]

= `(49sqrt(3))/4 "cm"^2`

∴ इन वृत्तों के बीच घिरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल

= ΔABC का क्षेत्रफल – प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= `(49sqrt(3))/4 - 19.25`

= `12.25 xx sqrt(3) - 19.25`

= 21.2176 – 19.25

= 1.9676 cm²

अतः, इन वृत्तों के बीच घिरा आवश्यक क्षेत्रफल 1.967 cm² (लगभग) है।