Advertisements
Advertisements
Question
यदि a + b + c ≠ 0 और `|("a", "b","c"),("b", "c", "a"),("c", "a", "b")|` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि a = b = c
Advertisements
Solution
चलो Δ = `|("a", "b","c"),("b", "c", "a"),("c", "a", "b")|`
[R1 → R1 + R2 + R3 लागू करना]
Δ = `|("a" + "b" + "c", "a" + "b" + "c", "a" + "b" + "c"),("b", "c", "a"),("c", "a", "b")|`
= `("a"+ "b" + "c")|(1, 1, 1),("b", "c", "a"),("c", "a", "b")|`
[C1 → C1 + C3 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")|(0, 0,1),("b" - "a", "c" - "a", "a"),("c" - "b", "a" - "b", "b")|`
[R1 के साथ विस्तार करना]
= `("a" + "b" + "c")[1("b" - "a")("a" - "b") - ("c" - "a")("c" - "b")`
= `("a" + "b" + "c")("ba" - "b"^2- "a"^2 + "ab" - "c"^2 + "cb" + "ac" - "ab")`
= `-("a" + "b" + "c")("a"^2 + "b"^2 + "c"^2 - "ab" - "bc" - "ca")`
= `(-1)/2 ("a" + "b" + "c")[2"a"^2 + 2"b"^2 + 2"c"^2 - 2"ab" - 2"bc" - 2"ca"]`
= `-1/2 ("a" + "b" + "c")[("a"^2 + "b"^2 - 2"ab") + ("b"^2 + "c"^2 - 2"bc") + ("c"^2 + "a"^2 - 2"ac")]`
= `(-1)/2 ("a" + "b" + "c")[("a" - "b")^2 + ("b" - "c")^2 + ("c" - "a")^2]`
दिया गया है, Δ = 0
⇒ `(-1)/2 ("a" + "b" + "c")[("a" - "b")^2 + ("b" - "c")^2 + ("c" - "a")^2]` = 0
⇒ `("a" - "b")^2 + ("b" - "c")^2 + ("c" - "a")^2` = 0 ...[∵ a + b + c ≠ 0, दिया गया]
⇒ a – b = b – c = c – a = 0
⇒ a = b = c
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
यदि A = `[(1,2),(4,2)]`, तो दिखाइए |2A| = 4|A|।
यदि A = `[(1,1,2),(2,1,3),(5,4,9)]`, हो तो |A| ज्ञात कीजिए।
x का मान ज्ञात कीजिए यदि `|(2,3),(4,5)|=|(x,3),(2x,5)|`।
सिद्ध कीजिए कि सारणिक `|(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x)|`, θ से स्वतंत्र है।
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि `[(a,a^2,bc),(b,b^2,ca),(c,c^2,ab)] = [(1,a^2,a^3),(1,b^2,b^3),(1,c^2,c^3)]`
`|(x,y,x+y),(y,x+y,x),(x+y,x,y)|` का मान ज्ञात कीजिए।
`|(1,x,y),(1,x+y,y),(1,x,x+y)|` का मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि (A–1)′ = (A′)–1, जहाँ A एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
यदि ∆ = `|("A"x, x^2, 1),("B"y, y^2, 1),("C"z, z^2, 1)|`तथा ∆1 = `|("A", "B", "C"),(x, y, z),(zy, zx, xy)|`, तब
सारणिक ∆ = `|(cos(x + y), -sin(x + y), cos2y),(sinx, cosx, siny),(-cosx, sinx, cosy)|`, x से स्वतंत्र है।
मान निकालिए- `|(x^2 - x + 1, x - 1),(x + 1, x + 1)|`
मान निकालिए- `|("a" + x, y, z),(x, "a" + y, z),(x, y, "a" + z)|`
मान निकालिए- `|(x + 4, x, x),(x, x + 4, x),(x, x, x + 4)|`
सिद्ध कीजिए - `|(y^2z^2, yz, y + z),(z^2x^2, zx, z + x),(x^2y^2, xy, x + y)|` = 0
सिद्ध कीजिए - `|(y + z, z, y),(z, z + x, x),(y, x, x + y)|` = 4xyz
सिद्ध कीजिए - `|("a"^2 + 2"a", 2"a" + 1, 1),(2"a" + 1, "a" + 2, 1),(3, 3, 1)| = ("a" - 1)^3`
यदि एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) तथा त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ‘a’ है तो सिद्ध कीजिए कि `|(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)|^2 = (3"a"^4)/4`
θ का वह मान ज्ञात कीजिए जो `[(1, 1, sin3theta),(-4, 3, cos2theta),(7, -7, -2)]` = 0 को संतुष्ट करता हो।
दर्शाइए कि a के किसी भी मान के लिए बिंदु (a + 5, a – 4), (a – 2, a + 3) और (a, a) एक सरल रेखा में नहीं है।
यदि A = `[(1, 2, 0),(-2, -1, -2),(0, -1, 1)]`, तो A–1 ज्ञात कीजिए। A–1 का प्रयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय x – 2y = 10 , 2x – y – z = 8, –2y + z = 7 को हल कीजिए।
अंतराल `pi/4 x ≤ pi/4` में सारणिक `|(sinx, cosx, cosx),(cosx, sinx, cosx),(cosx, cosx, sinx)|` = 0 के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है।
यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं तब निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है?
यदि x, y, z में कोई भी शून्य नहीं है और `|(1 + x, 1, 1),(1, 1 + y, 1),(1, 1, 1 + z)|` = 0, है तब x–1 + y–1 + z–1 बराबर है।
यदि x, y, z ∈ R, तब सारणिक `|((2x^2 + 2^(-x))^2, (2^x - 2^(-x))^2, 1),((3^x + 3^(-x))^2, (3^x -3^(-x))^2, 1),((4^x + 4^(-x))^2, (4^x - 4^(-x))^2, 1)|` बराबर है ______ ।
यदि cos2θ = 0, तब `|(0, costheta, sin theta),(cos theta, sin theta,0),(sin theta, 0, cos theta)|^2` = ______.
|A–1| ≠ |A|–1, जहाँ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
`|(1, 1, 1),(1, (1 + sintheta), 1),(1, 1, 1 + costheta)|` का अधिकतम मान `1/2` है।
