Question

त्रिज्या 8 cm और ऊँचाई 12 cm वाले एक शंकु को उसकी अक्ष के मध्य-बिंदु से होकर जाने वाले और आधार के समांतर तल द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है। दोनों भागों के आयतनों का अनपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

प्रश्न के अनुसार,

शंकु की ऊँचाई = OM = 12 cm

शंकु को मध्य-बिंदु से विभाजित किया गया है।

अत:, माना शंकु का मध्य-बिंदु = P

OP = PM = 6 cm

ΔOPD और ΔOMN से, 

∠POD = ∠POD   ...[सामान्य]

∠OPD = ∠OMN  ...[दोनों 90°]

इसलिए, कोण-कोण समानता मानदंड द्वारा, 

हमारे पास है, 

ΔOPD ~ ΔOMN

और

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं,

तो, हमारे पास हैं,

`"PD"/"MN" = "OP"/"OM"`

`"PD"/8 = 6/12`

PD = 4cm   ...[MN = 8 cm = शंकु के आधार की त्रिज्या]

पहले भाग यानी शंकु के लिए

आधार त्रिज्या, r = PD = 4 cm

ऊँचाई, h = OP = 6 cm

हम जानते हैं कि, 

त्रिज्या r और ऊंचाई h, V = `1/3 π"r"^2"h"` के लिए शंकु का आयतन, 

पहले भाग का आयतन = `1/3 π(4)^(2)6` = 32π

दूसरे भाग के लिए, अर्थात फ्रस्टम

निचली त्रिज्या, r₁ = MN = 8 cm

ऊपरी त्रिज्या, r₂ = PD = 4 cm

ऊंचाई, h = PM = 6 cm

हम जानते हैं कि, 

शंकु के छिन्नक का आयतन = `1/3 π"h"("r"_1^2 + "r"_2^2 + "r"_1"r"_2)`, जहाँ, h = ऊँचाई, r₁ और r₂ त्रिज्याएँ हैं, (r₁ > r₂₎

दूसरे भाग का आयतन = `1/3 π(6)[8^2 + 4^2 + 8(4)]` 

= 2π(112)

= 224π

इसलिए, हमें अनुपात मिलता है,

पहले भाग का आयतन : दूसरे भाग का आयतन = 32π : 224π = 1 : 7