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प्रश्न
त्रिज्या 8 cm और ऊँचाई 12 cm वाले एक शंकु को उसकी अक्ष के मध्य-बिंदु से होकर जाने वाले और आधार के समांतर तल द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है। दोनों भागों के आयतनों का अनपात ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
शंकु की ऊँचाई = OM = 12 cm
शंकु को मध्य-बिंदु से विभाजित किया गया है।
अत:, माना शंकु का मध्य-बिंदु = P
OP = PM = 6 cm
ΔOPD और ΔOMN से,
∠POD = ∠POD ...[सामान्य]
∠OPD = ∠OMN ...[दोनों 90°]
इसलिए, कोण-कोण समानता मानदंड द्वारा,
हमारे पास है,
ΔOPD ~ ΔOMN
और
समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं,
तो, हमारे पास हैं,
`"PD"/"MN" = "OP"/"OM"`
`"PD"/8 = 6/12`
PD = 4cm ...[MN = 8 cm = शंकु के आधार की त्रिज्या]
पहले भाग यानी शंकु के लिए
आधार त्रिज्या, r = PD = 4 cm
ऊँचाई, h = OP = 6 cm
हम जानते हैं कि,
त्रिज्या r और ऊंचाई h, V = `1/3 π"r"^2"h"` के लिए शंकु का आयतन,
पहले भाग का आयतन = `1/3 π(4)^(2)6` = 32π
दूसरे भाग के लिए, अर्थात फ्रस्टम
निचली त्रिज्या, r1 = MN = 8 cm
ऊपरी त्रिज्या, r2 = PD = 4 cm
ऊंचाई, h = PM = 6 cm
हम जानते हैं कि,
शंकु के छिन्नक का आयतन = `1/3 π"h"("r"_1^2 + "r"_2^2 + "r"_1"r"_2)`, जहाँ, h = ऊँचाई, r1 और r2 त्रिज्याएँ हैं, (r1 > r2)
दूसरे भाग का आयतन = `1/3 π(6)[8^2 + 4^2 + 8(4)]`
= 2π(112)
= 224π
इसलिए, हमें अनुपात मिलता है,
पहले भाग का आयतन : दूसरे भाग का आयतन = 32π : 224π = 1 : 7
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