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प्रश्न
दो ठोस शंकुओं को एक बेलनाकार नली में आकृति में दर्शाए अनुसार रखा जाता है। इनकी धारिताओं का अनुपात 2:1 है। इन शंकुओं की ऊँचाइयाँ और धारिताएँ ज्ञात कीजिए। बेलन के शेष भाग का आयतन भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
माना शंकु A का आयतन 2V और शंकु B का आयतन V है।
पुनः, मान लीजिए शंकु A की ऊँचाई = h1 cm,
फिर शंकु B की ऊँचाई = (21 – h1) cm
दिया गया है, शंकु का व्यास = 6 cm
∴ शंकु की त्रिज्या = `6/2` = 3 cm
अब, शंकु का आयतन,
A = 2V
= `1/3 pi"r"^2"h"`
= `1/3 pi(3)^2"h"_1`
⇒ V = `1/6 pi9"h"_1`
= `3/2 "h"_1pi` ...(i)
और शंकु का आयतन,
B = V
= `1/3 pi(3)^2(21 - "h"_1)`
= 3π(21 – h1) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
`3/2 "h"_1 pi` = 3π(21 – h1)
⇒ h1 = 2(21 – h1)
⇒ 3h1 = 42
⇒ h1 = `42/3` = 14 cm
∴ शंकु की ऊँचाई
B = 21 – h1
= 21 – 14
= 7 cm
अब, शंकु का आयतन,
A = `3 xx 14 xx 22/7` = 132 cm2 ...[समीकरण (i) का उपयोग करके]
और शंकु का आयतन,
B = `1/3 xx 22/7 xx 9 xx 7` = 66 cm3 ...[समीकरण (ii) का उपयोग करके]
अब, बेलन का आयतन
= πr2h
= `22/7 (3)^2 xx 21`
= 594 cm3
∴ शेष भाग का आवश्यक आयतन
= बेलन का आयतन – (शंकु A का आयतन + शंकु B का आयतन)
= 594 – (132 + 66)
= 396 cm3
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