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Question
सिद्ध कीजिए।
(secθ - cosθ)(cotθ + tanθ) = tanθ secθ
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Solution
बायाँ पक्ष = (secθ - cosθ)(cotθ + tanθ)
= `(1/costheta - costheta)(costheta/sintheta + sintheta/costheta)` ...............`[sectheta = 1/costheta, cottheta = costheta/sintheta और tantheta = sintheta/costheta]`
= `((1 - cos^2theta)/(costheta))((cos^2theta + sin^2theta)/(sintheta.costheta))`
= `sin^2theta/costheta xx 1/(sintheta.costheta)` .................`[(∵ sin^2theta + cos^2theta = 1),(∴ sin^2theta = 1 - cos^2theta)]`
= `sintheta/costheta xx sintheta xx 1/sintheta xx 1/costheta`
= `sintheta/costheta xx 1/costheta`
= `tantheta xx sectheta` ........`[∵ sintheta/costheta = tantheta, 1/costheta = sectheta]`
= दायाँ पक्ष
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ (secθ - cosθ)(cotθ + tanθ) = tanθ secθ.
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कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
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sin2θ + cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Δ ABC में, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°
AB2 + BC2 = `square` .....(पायथागोरस प्रमेय)
दोनों पक्षों में AC2 से भाग देने पर,
`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`
∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`
परन्तु `"AB"/"AC" = square और "BC"/"AC" = square`
∴ `sin^2 theta + cos^2 theta = square`
