Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जिसके विकर्ण `vec"a"` और `vec"b"` द्वारा व्यक्त हैं, `(|vec"a" xx vec"b"|)/2` है। साथ ही उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण `2hat"i" - hat"j" + hat"k"` और `hat"i" + 3hat"j" - hat"k"` है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए ABCD एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है कि,
`vec"AB" = vec"p"`
`vec"AD" = vec"q" = vec"BC"`
∴ त्रिभुज के नियम से, हम प्राप्त करते हैं
`vec"AC" = vec"a" = vec"p" + vec"q"` .....(i)
और `vec"BD" = vec"b" = -vec"p" + vec"q"` .....(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
`vec"a" + vec"b" = 2vec"q"`
⇒ `vec"q" = ((vec"a" + vec"b")/2)`
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
`vec"a" - vec"b" = 2vec"p"`
⇒ `vec"p" = ((vec"a" - vec"b")/2)`
∴ `vec"p" xx vec"q" = 1/4(vec"a" + vec"b") xx (vec"a" - vec"b")`
= `1/4 (vec"a" xx vec"a" - vec"a" xx vec"b" + vec"b" xx vec"a" - vec"b" xx vec"b")`
= `1/4(-vec"a" xx vec"b" xx vec"b" xx vec"a")` ......`[("क्योंकि" vec"a" xx vec"a" = 0),(vec"b" xx vec"b" = 0)]`
= `1/4(vec"a" xx vec"b" + vec"a" xx vec"b")`
= `1/4 * 2(vec"a" xx vec"b")`
= `|vec"a" xx vec"b"|/2`
तो, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `|vec"p" xx vec"q"| = 1/2|vec"a" xx vec"b"|`
अब समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण `2hat"i" - hat"j" + hat"k"` तथा `hat"i" + 3hat"j" - hat"k"` हैं।
= `1/2|(2hat"i" - hat"j" + hat"k") xx (hat"i" + 3hat"j" - hat"k")|`
= `-|(hat"i", hat"j", hat"k"),(2, 1, 1),(1, 3, 1)|`
= `1/2 |hat"i"(1 - 3) - hat"j"(-2 - 1) + hat"k"(6 + 1)|`
= `1/2 - 2hat"i" + 3hat"j" + 7hat"k"|`
= `1/2 sqrt((-2)^2 + (3)^2 + (7)^2)`
= `1/2 sqrt(4 + 9 + 49)`
= `1/2 sqrt(62)` वर्ग इकाई
इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल `1/2 sqrt(62)` वर्ग इकाई है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
परिमाण 3`sqrt2` का एक सदिश `vec"r"` ज्ञात कीजिए जो y और z-अक्षों से क्रमशः कोण `pi/4` और `pi/2` बनाता है।
सदिश `6vec"i" + 2vec"j" + 3vec"k"` का परिमाण है
उस बिंदु का स्थिति सदिश, जो दो बिंदुओं, जिनके स्थिति सदिश क्रमश: `vec"a" + vec"b"` और 2`vec"a" + vec"b"` हैं, को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है,
दो सदिश `hat"j" + hat"k"` और `3hat"i" -hat"j" + 4hat"k"` किसी ∆ABC की क्रमश: दो भुजाओं AB और AC को निरूपित करते हैं। बिंदु A से हो कर जाने वाली मध्यिका (मीडियन) की लंबाई है
एक मात्रक सदिश जो सदिशों `hat"i" - hat"j"` और `hat"i" + hat"j"` दोनों के लंबवत है तथा एक दक्षिणावर्ती पद्धति को निर्मित करने वाला सदिश है।
`vec"PQ"` की दिशा में मात्रक संदिश ज्ञात कीजिए जहाँ P और Q के निर्देशांक क्रमश: (5, 0, 8) और (3, 3, 2) हैं।
यदि `vec"a"` और `vec"b"` बिंदु A और B के क्रमश: स्थिति सदिश हैं तथा बढ़ाई गई BA में एक बिंदु C इस प्रकार है कि BC = 1.5 BA तो C का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
सदिशों `2hat"i" - hat"j" + hat"k"` और `3hat"i" + 4hat"j" - hat"k"` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
यदि `vec"a" + vec"b" + vec"c"` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `vec"a" xx vec"b" = vec"b" xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"` इस परिणाम का ज्यामितीय विमोचन कीजिए।
सदिश दर `vec"a" = 3hat"i" + hat"j" + 2hat"k"` तथा सदिश `vec"b" = 2hat"i" - 2hat"j" + 4hat"k"` के बीच का sine ज्ञात कीजिए।
यदि A, B, C, D बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमश: `hat"i" + hat"j" - hat"k", 2hat"i" - hat"j" + 3hat"k", 2hat"i" - 3hat"k", 3hat"i" - 2hat"j" + hat"k"` है तो `vec"AB"` का `vec"CD"` अनुदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
सदिशों के प्रयोग से त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि जिसके शीर्ष A (1, 2, 3), B (2, -1, 4) और C (4, 5, -1) है।
सदिशों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
यदि `vec"a" = hat"i" + hat"j" + hat"k"` और `vec"b" = hat"j" - hat"k"` तो सदिश `vec"c"` ज्ञात कीजिए इस प्रकार कि `vec"a" xx vec"c" = vec"b"` और `vec"a"*vec"c"` = 3.
सदिश जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु क्रमश: (2, 5, 0) और (-3, 7, 4) है निम्नलिखित है
दो सदिशों `vec"a"` और `vec"b"` के परिमाण क्रमश: `sqrt(3)` और 4 हैं तथा `vec"a" * vec"b" = 2sqrt(3)` है। इनके बीच का कोण है
किसी भी सदिश `vec"a"` के लिए `(vec"a" xx hat"i")^2 + (vec"a" xx hat"j")^2 + (vec"a" xx hat"k")^2` का मान बराबर है
यदि `|vec"a"|` = 10, `|vec"b"|` = 2 और `vec"a".vec"b"` = 12, हो तो `|vec"a" xx vec"b"|` का मान है
सदिश `vec"a"` का सदिश `vec"b"` पर प्रक्षेप
यदि तीन सदिश `vec"a", vec"b", vec"c"` इस प्रकार हैं कि `vec"a" + vec"b" + vec"a" = vec0` और `|vec"a"|` = 2, `|vec"b"|` = 3, `|vec"c"|` = 5, है, तो `vec"a"*vec"b" + vec"b"*vec"c" + vec"c"*vec"a"` का मान
यदि `|vec"a"|` = 4 और −3 ≤ λ ≤ 2 है तो `|lambdavec"a"|` का अंतराल है
सदिशों `vec"a" = 2hat"i" + hat"j" + 2hat"k"` और `vec"b" = hat"j" + hat"k"` दोनों ही पर मात्रक लंब सदिशों की संख्या हैं
यदि किसी शुन्येतर सदिश `vec"r"` के लिए `vec"r" * vec"a" = 0, vec"r" * vec"b" = 0` और `vec"r" * vec"c" = 0` तब `vec"a" * (vec"b" xx vec"c")` का मान ______ के बराबर है।
यदि `|vec"a" xx vec"b"|^2 + |vec"a".vec"b"|^2` = 144 और `|vec"a"|` = 4, तो `|vec"b"|` ______ के बराबर है।
यदि `vec"a"` कोई शुन्येतर सदिश है तो `(vec"a" .hat"i")hat"i" + (vec"a".hat"j")hat"j" + (vec"a".hat"k")hat"k"` ______ के बराबर है।
