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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जिसके विकर्ण `vec"a"` और `vec"b"` द्वारा व्यक्त हैं, `(|vec"a" xx vec"b"|)/2` है। साथ ही उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण `2hat"i" - hat"j" + hat"k"` और `hat"i" + 3hat"j" - hat"k"` है।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है कि,
`vec"AB" = vec"p"`
`vec"AD" = vec"q" = vec"BC"`
∴ त्रिभुज के नियम से, हम प्राप्त करते हैं
`vec"AC" = vec"a" = vec"p" + vec"q"` .....(i)
और `vec"BD" = vec"b" = -vec"p" + vec"q"` .....(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
`vec"a" + vec"b" = 2vec"q"`
⇒ `vec"q" = ((vec"a" + vec"b")/2)`
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
`vec"a" - vec"b" = 2vec"p"`
⇒ `vec"p" = ((vec"a" - vec"b")/2)`
∴ `vec"p" xx vec"q" = 1/4(vec"a" + vec"b") xx (vec"a" - vec"b")`
= `1/4 (vec"a" xx vec"a" - vec"a" xx vec"b" + vec"b" xx vec"a" - vec"b" xx vec"b")`
= `1/4(-vec"a" xx vec"b" xx vec"b" xx vec"a")` ......`[("क्योंकि" vec"a" xx vec"a" = 0),(vec"b" xx vec"b" = 0)]`
= `1/4(vec"a" xx vec"b" + vec"a" xx vec"b")`
= `1/4 * 2(vec"a" xx vec"b")`
= `|vec"a" xx vec"b"|/2`
तो, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `|vec"p" xx vec"q"| = 1/2|vec"a" xx vec"b"|`
अब समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण `2hat"i" - hat"j" + hat"k"` तथा `hat"i" + 3hat"j" - hat"k"` हैं।
= `1/2|(2hat"i" - hat"j" + hat"k") xx (hat"i" + 3hat"j" - hat"k")|`
= `-|(hat"i", hat"j", hat"k"),(2, 1, 1),(1, 3, 1)|`
= `1/2 |hat"i"(1 - 3) - hat"j"(-2 - 1) + hat"k"(6 + 1)|`
= `1/2 - 2hat"i" + 3hat"j" + 7hat"k"|`
= `1/2 sqrt((-2)^2 + (3)^2 + (7)^2)`
= `1/2 sqrt(4 + 9 + 49)`
= `1/2 sqrt(62)` वर्ग इकाई
इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल `1/2 sqrt(62)` वर्ग इकाई है।
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