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Question
सिद्ध कीजिए।
`1/(1 - sintheta) + 1/(1 + sintheta) = 2sec^2theta`
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Solution
बायाँ पक्ष = `1/(1 - sintheta) + 1/(1 + sintheta)`
= `((1 + sintheta) + (1 - sintheta))/((1 - sintheta)(1 + sintheta))`
= `(1 + sintheta + 1 - sintheta)/(1^2 - sin^2theta)` .............[(a - b)(a + b) = a2 - b2]
= `2/(1 - sin^2theta)`
= `2/cos^2theta` .................`[(∵ sin^2theta + cos^2theta = 1),(∴ cos^2theta = 1 - sin^2theta)]`
= `2 xx 1/cos^2theta`
= `2 xx sec^2theta` ...........`[∵ sectheta = 1/costheta]`
= दायाँ पक्ष
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ `1/(1 - sintheta) + 1/(1 + sintheta) = 2sec^2theta`
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कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
sin2θ + cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Δ ABC में, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°
AB2 + BC2 = `square` .....(पायथागोरस प्रमेय)
दोनों पक्षों में AC2 से भाग देने पर,
`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`
∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`
परन्तु `"AB"/"AC" = square और "BC"/"AC" = square`
∴ `sin^2 theta + cos^2 theta = square`
