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Question
सदिशों के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि cos (A – B) = cosA cosB + sinA sinB
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Solution
माना `hat"OP"` और `hat"OQ"` मात्रक सदिश हैं जो x-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमश: A और B, कोण बनाते हैं।
तब ∠QOP = A – B .....[आकृति से]
हम जानते हैं कि `hat"OP" = vec"OM" + vec"MP"`
= `hat"i" cos "A" + hat"j" sin "A"` और `hat"OQ" = vec"ON" + vec"NQ" = hat"i" cos"B" + hat"j" cos"B"`.
परिभाषा से `hat"OP" * hat"QO" = |hat"OP"| |hat"OQ"| cos("A" - "B")`
= `cos("A" - "B")` ......(1) `("क्योंकि" |hat"OP"|= 1 = |hat"OQ"|)`
घटकों के पदों में
`hat"QP" * hat"OQ" = (hat"i" cos"A" + hat"j" sin "A")*(hat"i" cos"B" + hat"j" sin"B")`
= cosA cosB + sinA sinB .....(2)
(1) और (2), से
cos(A – B) = cosA cosB + sinA sinB
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सदिश `vec"a" = 2hat"i" - hat"j" + hat"k"` का सदिश `vec"b" = hat"i" - 2hat"j" + 2hat"k"` के अनुदिश प्रक्षेप बराबर है
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