Question

रेखा l रेखा m के समांतर है तथा एक तिर्यक रेखा p क्रमशः इन्हें X और Y पर प्रतिच्छेद करती है। X और Y पर स्थित अंतःकोणों के समद्विभाजक P और Q प्रतिच्छेद करते हैं। क्या PXQY एक आयत है? कारण दीजिए।

Answer 1

दिया गया है, l || m

अब, ∠DXY = ∠XYA   ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]

⇒ `(∠DXY)/2 = (∠XYA)/2`  ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]

अब, ∠1 = ∠2   ...[एकांतर कोण बराबर हैं।]

XP और YQ समद्विभाजक हैं।

तो, XP || QY  ...(i)

इसी तरह, XQ || PY  ...(ii)

अब, समीकरण (i) और (ii) से हम पाते हैं।

समांतर चतुर्भुज PXQY में,

∠DXY + ∠XYB = 180°   ...(iii) [तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण संपूरक होते हैं।]

अब, दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके पर, प्राप्त करें

`(∠DXY)/2 + (∠XYB)/2 = 180^circ/2`

तो, ∠1 + ∠3 = 90°   [दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर] ...(iv)

त्रिभुज XYP में,

∠1 + ∠3 + ∠P = 180°

90° + ∠P = 180°   ...[समीकरण (iv) से]

∠P = 180° – 90°

∠P = 90°  ...(v)

समीकरण (iii) और (v) से,

PXQY एक आयत है।