Question

रैखिक समीकरण x + y = 2 और 2x – y = 1 के युग्म के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं?

Answer 1

दिए गए रैखिक समीकरण के युग्म हैं।

x + y – 2 = 0   ......(i)

और 2x – y – 1 = 0   ......(ii)

ax + by + c = 0 से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।

a₁ = 1, b₁ = 1 और c₁ = –2 ......[(i) से]

a₂ = 2, b₂ = –1 और c₂ = –1 .....[(ii) से]

यहाँ, `a_1/a_2 = 1/2`,

`b_1/b_2 = 1/(-1)`

और `c_1/c_2 = (-2)/(-1) = 2/1`

⇒ `a_1/a_2 ≠ b_1/b_2`

तो, दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

इसलिए, समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल है।

अतः, ये समीकरण संगत हैं।

अब, x + y = 2

⇒ y = 2 – x

x	0	2	1
y	2	0	1

और 2x – y – 1 = 0

⇒ y = 2x – 1

x	0	`1/2`	1
y	–1	0	1

दी गई रेखाएँ E(1, 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

इसलिए, अनंत रेखाएँ रैखिक समीकरण x + y = 2 और 2x – y = 1 के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजर सकती हैं।

अर्थात्, E(1, 1) जैसे y = x, 2x + y = 3, x + 2y = 3 इत्यादि।