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Question
रैखिक समीकरण x + y = 2 और 2x – y = 1 के युग्म के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं?
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Solution
दिए गए रैखिक समीकरण के युग्म हैं।
x + y – 2 = 0 ......(i)
और 2x – y – 1 = 0 ......(ii)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।
a1 = 1, b1 = 1 और c1 = –2 ......[(i) से]
a2 = 2, b2 = –1 और c2 = –1 .....[(ii) से]
यहाँ, `a_1/a_2 = 1/2`,
`b_1/b_2 = 1/(-1)`
और `c_1/c_2 = (-2)/(-1) = 2/1`
⇒ `a_1/a_2 ≠ b_1/b_2`
तो, दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अतः, ये समीकरण संगत हैं।
अब, x + y = 2
⇒ y = 2 – x
| x | 0 | 2 | 1 |
| y | 2 | 0 | 1 |
और 2x – y – 1 = 0
⇒ y = 2x – 1
| x | 0 | `1/2` | 1 |
| y | –1 | 0 | 1 |
दी गई रेखाएँ E(1, 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, अनंत रेखाएँ रैखिक समीकरण x + y = 2 और 2x – y = 1 के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजर सकती हैं।
अर्थात्, E(1, 1) जैसे y = x, 2x + y = 3, x + 2y = 3 इत्यादि।
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