Question

प्रथम बोर-त्रिज्या और म्यूओनिक हाइड्रोजन परमाणु [अर्थात् कोई परमाणु जिसमें लगभग 207 m_e द्रव्यमान का ऋणावेशित म्यूऑन (μ^–) प्रोटॉन के चारों ओर घूमता है। की निम्नतम अवस्था ऊर्जा को प्राप्त करने का परिकलन कीजिए।

Answer 1

एक म्यूओनिक हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन रूपी नाभिक के चारों ओर एक म्यूऑन (आवेश = – 1.6 x 10^-19C, द्रव्यमान m_μ = 207m_e

वृत्तीय कक्षा में चक्कर लगाता है।

अतः `m_mu/"m"_"e" = 207`

हाइड्रोजन परमाणु में, इलेक्ट्रॉन की n वीं कक्षा की त्रिज्या 

`"r"_"e" = "h"^2/(4pi^2 "m"^"e" "ke"^2)     ....("जहाँ"  k = 1/(4piepsilon_0))`

अथवा `"r"_"e" = "K"/"m"_"e"    ("जहाँ"  "K" = "h"^2/(4pi^2"ke"^2) = "नियतांक")`

समान रूप से, `"r"_mu = "K"/"m"_mu`

∴ `"r"_mu/"r"_"e" = "m"_"e"/"m"_mu => "r"_"u" = 1/207 xx "r"_"e"`

परन्तु इलेक्ट्रॉन की प्रथम कक्षा की त्रिज्या r_e = 0.53 Å = 0.53 × 10^-10 m 

∴ म्यूऑन की प्रथम कक्षा की त्रिज्या `"r"_mu = 1/207 xx 0.53 xx 10^-10 " m"`

`=> "r"_mu = 2.56 xx 10^-13` m

पुनः प्रथम कक्षा में म्यूऑन की ऊर्जा `"E"_"e" = - 1/2 xx 1/(4 piepsilon_0) * "e"^2/"r"_"e"`

तथा प्रथम कक्षा में म्यूऑन की ऊर्जा `"E"_mu = - 1/2 xx 1/(4 piepsilon_0) * "e"^2/"r"_mu`

∴ `"E"_mu/"E"_"e" = "r"_"e"` परन्तु  `"r"_"e"/"r"_mu = "m"_mu/"m"_"e"`

`=> "E"_mu = "m"_mu/"m"_"e" xx "E"_"e" = 207 "E"_"e"`

∵ प्रथम कक्षा में हाइड्रोजन इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा E_e = - 13.6 eV

∴ प्रथम कक्षा में म्यूऑन की ऊर्जा

E_μ = 207 × (- 13.6 eV) = - 2815.2 eV = - 2.82 keV