Question

Prove that the relation R on Z defined by
(a, b) ∈ R ⇔ a − b is divisible by 5
is an equivalence relation on Z.

Answer 1

We observe the following properties of relation R.

Reflexivity :

Let a be an arbitrary element of R. Then,

⇒ a−a = 0 = 0 × 5

⇒ a−a is divisible by 5

⇒ (a, a) ∈ R for all a ∈ Z

So, R is reflexive on Z.

Symmetry :

Let (a, b) ∈ R

⇒ a−b is divisible by 5

⇒ a−b = 5p for some p ∈ Z

⇒ b−a = 5 (−p)

Here, −p ∈ Z                      [ Since p ∈ Z]

⇒ b−a is divisible by 5

⇒ (b, a) ∈ R for all a, b ∈ Z

So, R is symmetric on Z.

Transitivity :

Let (a, b) and (b, c) ∈ R

⇒ a−b is divisible by 5

⇒ a−b = 5p for some Z

Also, b−c is divisible by 5

⇒ b−c = 5q for some Z

Adding the above two, we get

a −b + b−c = 5p + 5q

⇒ a−c = 5 ( p + q )

⇒ a−c is divisible by 5

Here,  p + q ∈ Z

⇒ (a, c) ∈ R for all a, c ∈ Z

So, R is transitive on Z.

Hence, R is an equivalence relation on Z.