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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`sqrt(((x-1)(x-2))/((x-3)(x-4)(x-5)))`
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Solution
मान लीजिए, `sqrt(((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5)))` ...(1)
या, y = `[((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5))]^(1/2)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = `1/2 ((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5))` ...[∵ log mn = n log m]
Or log y = `1/2 log (x - 1) (x - 2) - 1/2 log (x - 3) (x - 4) (x - 5) ...[∵ log m/n = log m - log n]`
= `1/2 [log (x- 1) + log (x - 2)] - 1/2 [log (x - 3) + log (x - 4) + log (x - 5)]` ...[∵ log m . n = log m + log n]
दोनों पक्षों को x द्वारा निरूपित करते हुए,
`1/y dy/dx = 1/2 [d/dx log (x - 1) + d/dx log (x - 2)] - 1/2 [d/dx log (x - 3) + d/dx log (x - 4) + d/dx log (x - 5)]`
= `1/2 y [1/(x - 1) d/dx (x - 1) + 1/(x - 2) d/dx (x - 2)] - 1/2 y [1/(x - 3) d/dx (x - 3) + 1/(x - 4) d/dx (x - 4) + 1/(x - 5) d/dx (x - 5)]`
= `1/2 y [1/(x - 1) + 1/(x - 2)] - 1/2 y [1/(x - 3) + 1/(x - 4) + 1/(x - 5)]`
= `1/2 y [1/(x - 1) + 1/(x - 2) - 1/(x - 3) - 1/(x - 4) - 1/(x - 5)]`
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
`dy/dx = 1/2 sqrt(((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5))) [1/(x - 1) + 1/(x - 2) - 1/(x - 3) - 1/(x - 4) - 1/(x - 5)]`
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