Question

यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि `d/dx(u.v.w) = (du)/dx v.w + u. (dv)/dx.w + u.v. (dw)/dx`।

Answer 1

मान लीजिए y = u. v. w = u. (v w) ....(i)

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हम पाते हैं

(i) `dy/dx = u' .(vw) + u d/dx (vw)`

= u'. (vw) + u [v' w + vw']

= u'. v. w + uv w + uvw'

= `(du)/dx. v. w + u. (dv)/dx . w + u.v. (dw)/dx`

(ii) y = u. v. w

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

log y = log u + log v + log w   ....(ii)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`1/y dy/dx = 1/u (du)/dx + 1/v (dv)/dx + 1/w (dw)/dx`

`dy/dx = y (1/u (du)/dx + 1/v (dv)/dx + 1/w (dw)/dx)`

= `uvw (1/u (du)/dx + 1/v (dv)/dx + 1/w (dw)/dx)`

= `vw (du)/dx + uw (dv)/dx + uv (dw)/dx`

= `(du)/dx. v. w + u. (dv)/dx .w + u. v (dw)/dx`