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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
xsin x + (sin x)cos x
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Solution
मान लीजिए, y = xsin x + (sin x)cos x
पुनः, मान लीजिए y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/dx = (du)/dx + (dv)/dx` ...(1)
अब, u = xsin x
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,
log u = log xsin x
log u = sin x log x
दोनों पक्षों का के साक्षेप अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = sin x d/dx log x + log x d/dx sin x`
= `sin x . 1/x + log x * cos x`
= `sin x/x + cos x log x`
`therefore (du)/dx = u (sin x/x + cos x log x)`
= `x^(sin x) (sin x/x + cos x log x)` ....(2)
साथ ही, v = (sin x)cos x
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,
log v = log (sin x)cos x
log v = cos x log sin x
दोनों पक्षों का के साक्षेप अवकलन करने पर,
`1/v (dv)/dx = cos x d/dx log sin x + log sin x d/dx cos x`
= `cos x * 1/(sin x) d/dx sin x + log sin x * (- sin x)`
= `cos x * 1/sin x * cos x - sin x log sin x`
= cos x cot x − sin x log sin x
`therefore (dv)/dx = v [cos x cot x − sin x log sin x]`
= `(sin x)^(cos x) [cos x cot x − sin x log sin x]` ....(3)
समीकरण (2) तथा (3) से `(du)/dx` तथा `(dv)/dx` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`therefore dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx`
= `x^(sin x) (sin x/x + cos x log x) + (sin x)^(cos x) [cos x cot x − sin x log sin x]`
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