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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(x + 3)2 · (x + 4)3 · (x + 5)4
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Solution
मान लीजिए, y = (x + 3)2 · (x + 4)3 · (x + 5)4
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)2 · (x + 4)3 · (x + 5)4]
= log (x + 3)2 + log (x + 4)3 + log (x + 5)4 ...[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5) ...[∵ log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/y dy/dx = 2 d/dx log (x + 3) + 3 d/dx log (x + 4) + 4 d/dx log (x + 5)`
`1/y dy/dx = 2 * 1/(x + 3) d/dx (x + 3) + 3 xx 1/(x+ 4) d/dx (x + 4) + 4 xx 1/(x + 5) d/dx (x + 5)`
`1/y dy/dx = (2(1 + 0))/(x + 3) + (3(1 + 0))/("x" + 4) + (4(1 + 0))/(x + 5)`
`dy/dx = y [2/(x + 3) + 3/(x + 4) + 4/(x + 5)]`
`= y [(2 (x + 4) (x + 5) + 3 (x + 5) + 4 (x + 3) (x + 4))/((x + 3) (x + 4) (x + 5))]`
`= (x + 3)^2 (x + 4)^3 (x + 5)^4 xx [(2 (x^2 + 9x + 20) + 3(x^2 + 8x + 15) + 4 (x^2 + 7x + 12))/((x + 3) (x + 4) (x + 5))]`
`⇒ dy/dx= (x + 3) (x + 4)^2 (x + 5)^3 [9x^2 + 70x + 133]`
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f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि `d/dx(u.v.w) = (du)/dx v.w + u. (dv)/dx.w + u.v. (dw)/dx`।
x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a (sin θ – θ cos θ)
