Question

P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि

(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)

(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)

(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)

Answer 1

AC पर एक बिंदु S इस प्रकार लें कि S, AC का मध्य-बिंदु हो।

PQ को T तक इस प्रकार बढ़ाइए कि PQ = QT हो।

TC, QS, PS और AQ को मिलाएं।

ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु सिद्धांत का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

PQ || AC और PQ = `1/2`AC

⇒ PQ || AS और PQ = AS (चूंकि S, AC का मध्य-बिंदु है)

∴ PQSA एक समांतर चतुर्भुज है। हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे त्रिभुजों के बराबर क्षेत्रफलों में समद्विभाजित करते हैं।

∴ ar (ΔPAS) = ar (ΔSQP) = ar (ΔPAQ) = ar (ΔSQA)

इसी प्रकार, यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि चतुर्भुज PSCQ, QSCT, और PSQB भी समांतर चतुर्भुज हैं और इसलिए,

ar (ΔPSQ) = ar (ΔCQS) (समांतर चतुर्भुज PSCQ के लिए)

ar (ΔQSC) = ar (ΔCTQ) (समानांतर चतुर्भुज QSCT के लिए)

ar (ΔPSQ) = ar (ΔQBP) (समानांतर चतुर्भुज PSQB के लिए)

इस प्रकार,

ar (ΔPAS) = ar (ΔSQP) = ar (ΔPAQ) = ar (ΔSQA) = ar (ΔQSC) = ar (ΔCTQ) = ar (ΔQBP) ... (1)

साथ ही, ar (ΔABC) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔPAS) + ar (ΔPQS) + ar (ΔQSC)

ar (ΔABC) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ)

= 4 ar(ΔPBQ)

ar (ΔPBQ) = 1/4 ar(ΔABC) ... (2)

(i) बिंदु P को C से मिलाइए।

ΔPAQ में, QR माध्यिका है।

`"इसलिए"  ar(trianglePRQ)=1/2ar(trianglePAQ)=1/2xx1/4ar(triangleABC)=1/8ar(triangleABC)" ............(3)"`

ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु सिद्धांत का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

PQ = 1/2AC

AC = 2PQ ⇒ AC = PT

साथ ही, PQ || AC ⇒  PT || AC

अत: PACT एक समांतर चतुर्भुज है।

ar(PACT) = ar(PACQ) + ar(ΔQTC)

= ar (PACQ) + ar (ΔPBQ [समीकरण (1) का प्रयोग करके]

एआर (पीएसीटी) = एआर (ΔABC) ... (4)

∴ `ar(triangleARC) = 1/2ar(trianglePAC)" (CR PAC की माध्यिका है)"`

`= 1/2xx1/2ar(PACT)" (पीसी विकर्ण समांतर चतुर्भुज PACT है)"`

`= 1/4 ar(PACT) = 1/4 ar(triangleABC)`

`rArr 1/2ar(triangleARC) = 1/8ar(triangleABC)`

`rArr1/2ar(triangleARC)=ar(trianglePRQ)" [समीकरण (3) का प्रयोग करते हुए] .........(5)"`

(ii)

ar(PACT) = ar(ΔPRQ) + ar(ΔARC) + ar(ΔQTC) + ar(ΔRQC)

समीकरणों (1), (2), (3), (4), और (5) से मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

`ar(ΔABC) = 1/8ar(ΔABC) + 1/4ar(ΔABC) + 1/4ar(ΔABC) + ar(ΔRQC)`

`ar(ΔABC) = 5/8ar(ΔABC) + ar(ΔRQC)`

`ar(ΔRQC) = (1-5/8)ar(ΔABC)`

`ar(ΔRQC) = 3/8ar(ΔABC)`

(iii) समांतर चतुर्भुज PACT में,

`ar(ΔARC) = 1/2ar(ΔPAC)" (CR PAC की माध्यिका है)"`

`= 1/2xx1/2ar(PACT)" (पीसी समांतर चतुर्भुज PACT का विकर्ण है)"`

                  `= 1/4ar(PACT)`

                 `= 1/4ar(ABC)`

                  = ar(ΔPBQ)