Advertisements
Advertisements
Question
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि
(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)
(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
Advertisements
Solution
AC पर एक बिंदु S इस प्रकार लें कि S, AC का मध्य-बिंदु हो।
PQ को T तक इस प्रकार बढ़ाइए कि PQ = QT हो।
TC, QS, PS और AQ को मिलाएं।
ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु सिद्धांत का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ || AC और PQ = `1/2`AC
⇒ PQ || AS और PQ = AS (चूंकि S, AC का मध्य-बिंदु है)
∴ PQSA एक समांतर चतुर्भुज है। हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे त्रिभुजों के बराबर क्षेत्रफलों में समद्विभाजित करते हैं।
∴ ar (ΔPAS) = ar (ΔSQP) = ar (ΔPAQ) = ar (ΔSQA)
इसी प्रकार, यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि चतुर्भुज PSCQ, QSCT, और PSQB भी समांतर चतुर्भुज हैं और इसलिए,
ar (ΔPSQ) = ar (ΔCQS) (समांतर चतुर्भुज PSCQ के लिए)
ar (ΔQSC) = ar (ΔCTQ) (समानांतर चतुर्भुज QSCT के लिए)
ar (ΔPSQ) = ar (ΔQBP) (समानांतर चतुर्भुज PSQB के लिए)
इस प्रकार,
ar (ΔPAS) = ar (ΔSQP) = ar (ΔPAQ) = ar (ΔSQA) = ar (ΔQSC) = ar (ΔCTQ) = ar (ΔQBP) ... (1)
साथ ही, ar (ΔABC) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔPAS) + ar (ΔPQS) + ar (ΔQSC)
ar (ΔABC) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ)
= 4 ar(ΔPBQ)
ar (ΔPBQ) = 1/4 ar(ΔABC) ... (2)
(i) बिंदु P को C से मिलाइए।
ΔPAQ में, QR माध्यिका है।
`"इसलिए" ar(trianglePRQ)=1/2ar(trianglePAQ)=1/2xx1/4ar(triangleABC)=1/8ar(triangleABC)" ............(3)"`
ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु सिद्धांत का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ = 1/2AC
AC = 2PQ ⇒ AC = PT
साथ ही, PQ || AC ⇒ PT || AC
अत: PACT एक समांतर चतुर्भुज है।
ar(PACT) = ar(PACQ) + ar(ΔQTC)
= ar (PACQ) + ar (ΔPBQ [समीकरण (1) का प्रयोग करके]
एआर (पीएसीटी) = एआर (ΔABC) ... (4)
∴ `ar(triangleARC) = 1/2ar(trianglePAC)" (CR PAC की माध्यिका है)"`
`= 1/2xx1/2ar(PACT)" (पीसी विकर्ण समांतर चतुर्भुज PACT है)"`
`= 1/4 ar(PACT) = 1/4 ar(triangleABC)`
`rArr 1/2ar(triangleARC) = 1/8ar(triangleABC)`
`rArr1/2ar(triangleARC)=ar(trianglePRQ)" [समीकरण (3) का प्रयोग करते हुए] .........(5)"`
(ii)
ar(PACT) = ar(ΔPRQ) + ar(ΔARC) + ar(ΔQTC) + ar(ΔRQC)
समीकरणों (1), (2), (3), (4), और (5) से मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
`ar(ΔABC) = 1/8ar(ΔABC) + 1/4ar(ΔABC) + 1/4ar(ΔABC) + ar(ΔRQC)`
`ar(ΔABC) = 5/8ar(ΔABC) + ar(ΔRQC)`
`ar(ΔRQC) = (1-5/8)ar(ΔABC)`
`ar(ΔRQC) = 3/8ar(ΔABC)`
(iii) समांतर चतुर्भुज PACT में,
`ar(ΔARC) = 1/2ar(ΔPAC)" (CR PAC की माध्यिका है)"`
`= 1/2xx1/2ar(PACT)" (पीसी समांतर चतुर्भुज PACT का विकर्ण है)"`
`= 1/4ar(PACT)`
`= 1/4ar(ABC)`
= ar(ΔPBQ)
RELATED QUESTIONS
एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)
[संकेत AC को मिलाइए।]
आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = `1/8`ar (AFC)
[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल 180 cm2 है तथा A विकर्ण QS पर स्थित कोई बिंदु है। तब ∆ASR का क्षेत्रफल 90 cm2 है।
ABCD एक वर्ग है। E और F क्रमश : BC और CD भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। यदि R रेखाखंड EF का मध्य-बिंदु है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (AER) = ar (AFR) है।
किसी समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिंदु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC) है।
एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि PQ इस समांतर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
त्रिभुज ABC में यदि L और M क्रमश : AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि LM || BC है। सिद्ध कीजिए कि ar (LOB) = ar (MOC) है।
