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Question
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल 180 cm2 है तथा A विकर्ण QS पर स्थित कोई बिंदु है। तब ∆ASR का क्षेत्रफल 90 cm2 है।
Options
सत्य
असत्य
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Solution
यह कथन असत्य है।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = 180 सेमी2 और QS इसका विकर्ण है जो इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
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दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
बिंदु D और E क्रमश: ΔABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है दर्शाइए कि DE || BC है |
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये]
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध् के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि
(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)
(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
ABCD एक वर्ग है। E और F क्रमश : BC और CD भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। यदि R रेखाखंड EF का मध्य-बिंदु है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (AER) = ar (AFR) है।
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर हैं।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।
त्रिभुज ABC में यदि L और M क्रमश : AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि LM || BC है। सिद्ध कीजिए कि ar (LOB) = ar (MOC) है।
