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Question
एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि PQ इस समांतर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
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Solution
दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक रेखा PQ खींचते हैं, जो AD और BC को प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है - PQ समांतर चतुर्भुज ABCD को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
अर्थात्, ar (ABQP) = ar (CDPQ)
उपपत्ति - हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ OA = OC और OB = OD ...(i)
ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OC
OB = OD ...[समीकरण (i) से]
और ∠AOB = ∠COD ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔAOB = ΔCOD ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
तब, ar (ΔAOB) = ar (ΔCOD) ...(ii) [चूँकि सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है।]
अब, ΔAOP और ΔCOQ में,
∠PAO = ∠OCQ ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
OA = OC ...[समीकरण (i) से]
और ∠AOP = ∠COQ ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔAOP ≅ ΔCOQ ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]
∴ ar (ΔAOP) = ar (ΔCOQ) ...(iii) [चूँकि, सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल बराबर होता है।]
इसी प्रकार, ar (ΔPOD) = ar (ΔBOQ) ...(iv)
अब, ar (ABQP) = ar (ΔCOQ) + ar (ΔCOD) + ar (ΔPOD)
= ar (ΔAOP) + ar (ΔAOB) + ar (ΔBOQ) ...[समीकरण (ii), (iii) और (iv) से]
⇒ ar (ABQP) = ar (CDPQ)
अतः सिद्ध हुआ।
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