Question

एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि PQ इस समांतर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।

Answer 1

दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक रेखा PQ खींचते हैं, जो AD और BC को प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना है - PQ समांतर चतुर्भुज ABCD को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।

अर्थात्, ar (ABQP) = ar (CDPQ)

उपपत्ति - हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। 

∴ OA = OC और OB = OD  ...(i)

ΔAOB और ΔCOD में,

OA = OC

OB = OD  ...[समीकरण (i) से]

और ∠AOB = ∠COD   ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∴ ΔAOB = ΔCOD  ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

तब, ar (ΔAOB) = ar (ΔCOD)  ...(ii) [चूँकि सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है।]

अब, ΔAOP और ΔCOQ में,

∠PAO = ∠OCQ  ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]

OA = OC  ...[समीकरण (i) से]

और ∠AOP = ∠COQ  ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∴ ΔAOP ≅ ΔCOQ  ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]

∴ ar (ΔAOP) = ar (ΔCOQ)  ...(iii) [चूँकि, सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल बराबर होता है।]

इसी प्रकार, ar (ΔPOD) = ar (ΔBOQ)  ...(iv)

अब, ar (ABQP) = ar (ΔCOQ) + ar (ΔCOD) + ar (ΔPOD)

= ar (ΔAOP) + ar (ΔAOB) + ar (ΔBOQ)  ...[समीकरण (ii), (iii) और (iv) से]

⇒ ar (ABQP) = ar (CDPQ)

अतः सिद्ध हुआ।