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प्रश्न
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर हैं।
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उत्तर
दिया गया है - त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF, G पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है - ar (ΔGBC) = ar (AFCE)
उपपत्ति - माध्यिका CF एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज में विभाजित करती है। इसलिए, ar(ΔBCF) = ar(ΔACF)
ar (ΔGBF) + ar (ΔGBC) = ar (AFGE) + ar (ΔGCE) ...(I)
अब, माध्यिका BE एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इसलिए, ar (ΔGBF) + ar (AFGE) = ar (ΔGCE) + ar (ΔGBC) ...(II)
अब, (II) को (I) से घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔGBC) – ar (AFGE) = ar (ΔAFGE) – ar (ΔGBC)
ar (ΔGBC) + ar (ΔGBC) = ar (ΔAFGE) + ar (ΔAFGE)
2ar (ΔGBC) = 2ar (AFGE)
अत:, ar (ΔGBC) = ar (AFGE)।
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संबंधित प्रश्न
P और Q एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित कोई दो बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
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(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
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[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि
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(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
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निम्नलिखित आकृति में, X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) हैं।
