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प्रश्न
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |
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उत्तर
दिया जाता है कि
क्षेत्रफल (ΔAOD) = क्षेत्रफल (ΔBOC)
क्षेत्रफल (ΔAOD) + क्षेत्रफल (ΔAOB) = क्षेत्रफल (ΔBOC) + क्षेत्रफल (ΔAOB)
क्षेत्रफल (ΔADB) = क्षेत्रफल (ΔACB)
हम जानते हैं कि एक ही आधार पर एक दूसरे के बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुज समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
इसलिए, ये त्रिभुज, ΔADB और ΔACB, एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
i.e., AB || CD
अत: ABCD एक समलंब है।
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एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर कोई बिंदु A लिया और उसे बिंदु P और Q से मिला दिया। क्षेत्र को कितने भागों में विभाजित किया गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? किसान गेहूँ और दालों को खेत के बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। उसे कैसे करना चाहिए?
दी गई आकृति में, ΔABC की माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है। दिखाएँ कि ar (ABE) = ar (ACE) है।
बिंदु D और E क्रमश: ΔABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है दर्शाइए कि DE || BC है |
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये]
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध् के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)
[संकेत AC को मिलाइए।]
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि PQ इस समांतर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।
निम्नलिखित आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समांतर खींची गई BP बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के समांतर खींची गई EQ बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABCDE) = ar (APQ) है।
