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प्रश्न
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये]
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उत्तर
माना AC और PQ को मिलाएँ।
ΔACQ और ΔAQP एक ही आधार AQ पर हैं और समान समानांतर AQ और CP के बीच हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACQ) = क्षेत्रफल (ΔAPQ)
⇒ क्षेत्रफल (ΔACQ) − क्षेत्रफल (ΔABQ) = क्षेत्रफल (ΔAPQ) − क्षेत्रफल (ΔABQ)
⇒ क्षेत्रफल (ΔABC) = क्षेत्रफल (ΔQBP) ... (1)
चूँकि AC और PQ क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD और PBQR के विकर्ण हैं,
∴ क्षेत्रफल (ΔABC) = `1/2` क्षेत्रफल (ABCD) ... (2)
क्षेत्रफल (ΔQBP) = `1/2` क्षेत्रफल (PBQR) ... (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
`1/2` क्षेत्रफल (ABCD) = `1/2` क्षेत्रफल (PBQR)
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (PBQR)
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(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
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नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
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