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प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में, X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) हैं।
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उत्तर
दिया गया है - X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं। साथ ही, QP || BC और CYQ, BXP सीधी रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है - ar (ΔABP) = ar (ΔACQ)
उपपत्ति - चूँकि X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं।
तो, XY || BC
हम जानते हैं कि, एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
यहाँ, ΔBYC और ΔBXC एक ही आधार BC और समान समांतर रेखाओं BC और XY के बीच स्थित हैं।
इसलिए, ar (ΔBYC) = ar (ΔBXC)
दोनों ओर से ar (ΔBOC) घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔBYC) – ar (ΔBOC) = ar (ΔBXC) – ar (ΔBOC)
=» ar (ΔBOY) = ar (ΔCOX)
दोनों ओर से ar (ΔXOY) घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔSOY) + ar (ΔXOY) = ar (ΔCOX) + ar (ΔXOY)
⇒ ar (ΔBYX) = ar (ΔCXY) ...(i)
इसलिए, हम देखते हैं कि चतुर्भुज XYAP और YXAQ एक ही आधार XY पर और समान समांतर रेखाओं XY और PQ के बीच हैं।
ar (XYAP) = ar (YXAQ) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔBYX) + ar (XYAP) = ar (ΔCXY) + ar (YXAQ)
⇒ ar (ΔABP) = ar (ΔACQ)
अतः सिद्ध हुआ।
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