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प्रश्न
दी गई आकृति में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। वो दिखाओ
(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: के माध्यम से। P, AB के समांतर एक रेखा खींचिए]
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उत्तर
(i) आइए हम एक रेखाखंड EF खींचते हैं, जो बिंदु P से होकर जाता है और रेखाखंड AB के समानांतर है।
समांतर चतुर्भुज ABCD में,
∴ AD || BC (निर्माण द्वारा) ... (1)
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
एडी || ईसा पूर्व (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष)
⇒ AE || BF ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
AB || EF और AE || BF
अत: चतुर्भुज ABFE एक समांतर चतुर्भुज है।
यह देखा जा सकता है कि APB और समांतर चतुर्भुज ABFE एक ही आधार AB पर और समान समानांतर रेखाओं AB और EF के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔAPB) = 1/2क्षेत्र (ABFE) ... (3)
इसी प्रकार, ΔPCD और समांतर चतुर्भुज EFCD के लिए,
क्षेत्रफल (ΔPCD) = 1/2क्षेत्र (EFCD) ... (4)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔAPB) + क्षेत्रफल (ΔPCD) = 1/2[क्षेत्रफल (ABFE) + क्षेत्रफल (EFCD)]
क्षेत्रफल (ΔAPB) + क्षेत्रफल (ΔPCD) = 1/2क्षेत्र (ABCD) ........(5)
(ii)
आइए हम एक रेखा खंड MN खींचते हैं, जो बिंदु P से होकर जाता है और रेखा खंड AD के समानांतर है।
समांतर चतुर्भुज ABCD में,
MN || AD (निर्माण द्वारा) ... (6)
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
एबी || डीसी (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष)
AM || DN ... (7)
समीकरण (6) और (7) से, हम प्राप्त करते हैं
MN || AD and AM || DN
अत: चतुर्भुज AMND एक समांतर चतुर्भुज है।
यह देखा जा सकता है कि ΔAPD और समांतर चतुर्भुज AMND एक ही आधार AD पर और समान समानांतर रेखाओं AD और MN के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔAPD) = `1/2` क्षेत्र (AMND) ... (8)
इसी तरह, ΔPCB और समानांतर चतुर्भुज MNCB, के लिए,
क्षेत्रफल (ΔPCB) = `1/2` क्षेत्र (MNCB) ... (9)
समीकरण (8) और (9) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔAPD) + क्षेत्र (ΔPCB) = `1/2` [क्षेत्रफल (AMND) + क्षेत्रफल (MNCB)]
क्षेत्रफल (ΔAPD) + क्षेत्रफल (ΔPCB) = `1/2` क्षेत्र (ABCD) ............(10)
समीकरणों (5) और (10) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔAPD) + क्षेत्रफल (ΔPBC) = क्षेत्रफल (ΔAPB) + क्षेत्रफल (ΔPCD)
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