Question

आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:

(i) ΔMBC ≅ ΔABD

(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)

(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)

(iv) ΔFCB ≅ ΔACE

(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)

(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)

(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)

नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।

Answer 1

(i) हम जानते हैं कि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है।

इसलिये,

∠ABM = ∠DBC = 90º

⇒ ∠ABM + ∠ABC = ∠DBC + ∠ABC

⇒ ∠MBC = ∠ABD

In ΔMBC and ΔABD,

∠MBC = ∠ABD (ऊपर प्रदान किया गया)

MB = AB (वर्ग के किनारे ABMN)

BC = BD (वर्ग के किनारे BCED)

∴ ΔMBC ≅ ΔABD (SAS सर्वांगसमता नियम)

(ii) अपने पास

ΔMBC ≅ ΔABD

⇒ ar (ΔMBC) = ar (ΔABD) ... (1)

दिया जाता है कि AX ⊥ DE तथा BD ⊥ DE (वर्ग के आसन्न पक्ष

BDEC)

⇒ BD || AX (एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं)

ΔABD और समांतर चतुर्भुज BYXD एक ही आधार BD पर और समान समांतर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।

∴ ar(ΔABD) = 1/2ar(BYXD)

ar(BYXD) = 2ar(ΔABD)

क्षेत्रफल (BYXD) = 2 क्षेत्र (ΔMBC) [समीकरण (1) का प्रयोग करके] ... (2)

(iii) ΔMBC और समांतर चतुर्भुज ABMN एक ही आधार MB पर और समान समानांतर MB और NC के बीच स्थित हैं।

∴ ar(ΔMBC) = 1/2ar(ABMN)

2ar (ΔMBC) = ar (ABMN)

ar (BYXD) = ar (ABMN) समीकरण (2)] ... (3) का उपयोग करना

(iv) हम जानते हैं कि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है।

∴ ∠FCA = ∠BCE = 90º

⇒ ∠FCA + ∠ACB = ∠BCE + ∠ACB

⇒ ∠FCB = ∠ACE

In ΔFCB and ΔACE,

∠FCB = ∠ACE

FC = AC (वर्ग के किनारे ACFG)

CB = CE (वर्ग के किनारे BCED)

ΔFCB ≅ ΔACE (SAS सर्वांगसमता नियम)

(v) यह दिया गया है कि AX ⊥ DE और CE ⊥ DE (वर्ग BDEC की आसन्न भुजाएँ) 

इसलिए, CE || AX (एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं)

ΔACE और समांतर चतुर्भुज CYXE पर विचार करें

ΔACE और समांतर चतुर्भुज CYXE एक ही आधार CE पर और एक ही समान्तर रेखाओं CE और AX के बीच स्थित हैं।

∴ ar(ΔACE) = 1/2ar(CYXE)

⇒ ar(CYXE) = 2 ar(ΔACE) ... (4)

हमने साबित कर दिया था कि

∴ ΔFCB ≅ ΔACE

ar (ΔFCB) ≅ ar (ΔACE) ... (5)

समीकरण (4) और (5) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

ar (CYXE) = 2 ar (ΔFCB) ... (6)

(vi) ΔFCB और समांतर चतुर्भुज ACFG पर विचार करें

ΔFCB और समांतर चतुर्भुज ACFG एक ही आधार CF पर और समान समानांतर CF और BG के बीच स्थित हैं।

∴ ar(ΔFCB) = 1/2 ar(ACFG)

⇒ ar(ACFG) = 2 ar(ΔFCB)

⇒ ar (ACFG) = ar (CYXE) समीकरण का उपयोग करना (6)] ...(7)

(vii) चित्र से स्पष्ट है कि

ar (BCED) = ar (BYXD) + ar (CYXE)

⇒ ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG) [समीकरणों (3) और (7) का उपयोग करना]